暑假N天乐【比赛篇】 —— 2019牛客暑期多校训练营（第四场）
再拖下去啥都学不了了，所以后面几场的补题应该只会出现赛场上开过的题，稍微减轻一下负担。
以下题解包括：\(A \ \ \ C \ \ \ D \ \ \ J \ \ \ K\)
\(B\) 题队友补了，线性基+线段树不想写了。
比赛地址： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/884#question
【A】 meeting DFS+LCA
队友AC的，雨我无瓜，大概就是求个树的直径就完事了
给定 \(n\) 个点和 \(n-1\) 条边，有 \(k\) 个人分别在 \(k\) 个点上，问选择哪一个点作为相遇的点，能使得这些人相遇时间最短，输出相遇时间（每走一条边花一秒）。
考虑距离最远的两个关键点，设它们的距离为 \(dis\)，\(\lceil dis/2 \rceil\) 即为答案。
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#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5+5;
vector<int> son[maxn];
int n, k, dep[maxn], fa[maxn][20], in[maxn];
int a[maxn];
int b[maxn], c[maxn];
void dfs(int pre, int rt) {
dep[rt] = dep[pre] + 1;
fa[rt][0] = pre;
for(int i = 1; i < 20; i++) {
fa[rt][i] = fa[fa[rt][i-1]][i-1];
}
for(int i = 0; i < son[rt].size(); i++) {
if(son[rt][i] != pre)
dfs(rt, son[rt][i]);
}
}
int LCA(int x, int y) {
if(dep[x] < dep[y]) {
swap(x, y);
}
for(int i = 19; i >= 0; i--) {
if(dep[x] - (1<<i) >= dep[y]) {
x = fa[x][i];
}
}
if(x == y) {
return x;
}
for(int i = 19; i >= 0; i--) {
if(fa[x][i] != fa[y][i]) {
x = fa[x][i];
y = fa[y][i];
}
}
return fa[x][0];
}
int main() {
while(~scanf("%d%d", &n, &k)) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
son[i].clear();
}
memset(in, 0, sizeof(in));
for(int i = 0; i < n-1; i++) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
son[x].push_back(y);
son[y].push_back(x);
}
dep[0] = -1;
int rt = 0;
for(int i = 1; i <= n && rt == 0; i++) {
if(in[i] == 0) {
rt = i;
}
}
dep[1] = 0;
dfs(1, rt);
for(int i = 1; i <= k; i++){
scanf("%d", &a[i]);
}
int lca, Max = 0, w = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
lca = LCA(a[i], a[1]);
int x = dep[a[i]]+dep[a[1]]-dep[lca]*2;
if(x > Max){
Max = x;
w = i;
}
}
Max = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(i == w) continue;
lca = LCA(a[w], a[i]);
int x = dep[a[i]] + dep[a[w]]-dep[lca]*2;
Max = max(Max, x);
}
printf("%d\n", (Max+1)/2);
}
return 0;
}
【C】 sequence 线段树+单调栈
给定两个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和 \(b\)，选择一个区间 \([l, r] (1\leq l\leq r\leq n)\)，使得 \(max [min(a_{l...r})*max(b_{l...r})]\) 。输出这个最大值。
对于每个 \(a_i\)，我们找到左边第一个比它小的元素 \(a_l\)，右边第一个比它小的 \(a_r\)，那么左端点在 \([l+1,i]\)，右端点在 \([i,r-1]\) 的区间最小值就是 \(a_i\)。求l和r可以使用单调栈。
得到 \(a_i\) 后，如果 \(a_i>0\) 我们就是要最大化 \(sum(b[l..r])\)。反之亦然。记 \(b\) 的前缀和为 \(s\)，那么 \(sum(b[l..r])=s[r]-s[l-1]\)。所以我们只要查询 \([i,r-1]\) 最大的 \(s\) 和 \([l,i-1]\) 最小的 \(s\)，相减即可。查询区间最小值可以使用线段树。
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#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
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#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const ll inf = 1e16;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 3e6+5;
int a[maxn], b[maxn];
int l[maxn], r[maxn]; // 左（右）边第一个 < ai 的数的位置
ll sum[maxn];
ll MAX[maxn<<2], MIN[maxn<<2];
void push_up(int rt) {
MAX[rt] = max(MAX[rt<<1], MAX[rt<<1|1]);
MIN[rt] = min(MIN[rt<<1], MIN[rt<<1|1]);
}
void build(int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
MIN[rt] = MAX[rt] = sum[l];
return ;
}
int mid = (l+r) >> 1;
build(l, mid, rt<<1);
build(mid+1, r, rt<<1|1);
push_up(rt);
}
ll query_max(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
return MAX[rt];
}
int mid = (l+r) >> 1;
ll ans = -inf;
if(L <= mid) {
ans = max(ans, query_max(L, R, l, mid, rt<<1));
}
if(R > mid) {
ans = max(ans, query_max(L, R, mid+1, r, rt<<1|1));
}
return ans;
}
ll query_min(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
return MIN[rt];
}
int mid = (l+r) >> 1;
ll ans = inf;
if(L <= mid) {
ans = min(ans, query_min(L, R, l, mid, rt<<1));
}
if(R > mid) {
ans = min(ans, query_min(L, R, mid+1, r, rt<<1|1));
}
return ans;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
a[0] = a[n+1] = -(0x3f3f3f3f);
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &b[i]);
sum[i] = sum[i-1] + b[i];
}
build(0, n, 1);
stack<int> s;
s.push(0);
for(int i = 1; i <= n; i++) { // 找左边
while(!s.empty() && a[s.top()] >= a[i]) {
s.pop();
}
l[i] = s.top();
s.push(i);
}
while(!s.empty()) {
s.pop();
}
s.push(n+1);
for(int i = n; i >= 1; i--) {
while(!s.empty() && a[s.top()] >= a[i]) {
s.pop();
}
r[i] = s.top();
s.push(i);
}
ll ans = -inf;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
// 左端点在[l+1,i]，右端点在[i,r-1]的区间min就是 ai
int l1 = l[i];
int r1 = i-1;
int l2 = i;
int r2 = r[i]-1;
if(a[i] < 0) {// 找最小
ans = max(ans, (query_min(l2, r2, 0, n, 1) - query_max(l1, r1, 0, n, 1)) * a[i]);
}
else {
ans = max(ans, (query_max(l2, r2, 0, n, 1) - query_min(l1, r2, 0, n, 1)) * a[i]);
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
【D】 triples I 构造
给定一个数 \(n\) ，用最少的3的倍数或运算成它，输出构成方案之一。
\(n \% 3 == 0\) ：直接输出即可
\(n \% 3 == 1\) ：
- \(n\) 的二进制位有至少两个 \(\% 3=1\) 的，设为 \(p\) 和 \(q\)，取 \([a-p,a-q]\)即可
- 二进制位只有一个 \(\% 3=1\) 的，那么设 \(\% 3=1\) 的这个位为p，\(\% 3=2\) 的某个位为 \(q\)，取 \([a-p,p+q]\)即可
- 二进制位没有 \(\% 3=1\) 的，那么假设有三个 \(\% 3 = 2\)的位 \(p、q、r\)，取\([a-p-q, p+q+r]\)即可
\(n \% 3 == 2\) ：和 1 的情况相同，把 1 和 2 互换即可
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#include <set>
#include <list>
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#include <ctime>
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#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 100+5;
int a[maxn];
ll m1[maxn], m2[maxn];
int main() {
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
ll n;
scanf("%lld", &n);
if(n % 3 == 0) {
printf("1 %lld\n", n);
continue;
}
ll temp = n;
int cnt = 0;
while(temp) {
a[++cnt] = temp % 2;
temp /= 2;
}
ll x = 1;
int cnt1 = 0;
int cnt2 = 0;
for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
if(a[i]) {
if(x % 3 == 1) {
m1[++cnt1] = x; //mod 3 == 1
}
else if(x % 3 == 2) {
m2[++cnt2] = x; //mod 3 == 2
}
}
x = x*2;
}
if(n % 3 == 1) {
if(cnt1 >= 2) {
printf("2 %lld %lld\n", n - m1[1], n - m1[2]);
}
else if(cnt1 == 1) {
printf("2 %lld %lld\n", n - m1[1], m1[1] + m2[1]);
}
else if(cnt2 >= 3) {
printf("2 %lld %lld\n", m2[1] + m2[2] + m2[3], n - m2[1] - m2[2]);
}
}
else if(n % 3 == 2) {
if(cnt2 >= 2) {
printf("2 %lld %lld\n", n - m2[1], n - m2[2]);
}
else if(cnt2 == 1) {
printf("2 %lld %lld\n", n - m2[1], m1[1] + m2[1]);
}
else if(cnt1 >= 3) {
printf("2 %lld %lld\n", m1[1] + m1[2] + m1[3], n - m1[1] - m1[2]);
}
}
}
return 0;
}
【J】 free 最短路dij变形
给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，起点 \(S\) 和终点 \(T\) 固定，每条边都有 \(cost\)，现在可以选择其中 \(k\) 条边的 \(cost\) 变成 0，问从起点到终点的最小 \(cost\)。
只要把最短路算法 \(dijkstra\) 的 \(dis\) 数组变成二维，\(dis[i][j]\) 表示：到 \(i\) 点时候已经用了 \(j\) 条魔术边（\(i \leq n \ ,\ j \leq k\)）。
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#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e3+5;
int vis[maxn][maxn];
int head[maxn];
int dis[maxn][maxn];
int n, m, S, T, k;
int tot;
int ans;
struct EDGE {
int to, nxt, w;
}edge[2*maxn];
struct node {
int v, w, k;
bool operator < (const node &h)const {
return w > h.w;
}
};
void addedge(int u, int v, int w) {
edge[tot].to = v;
edge[tot].w = w;
edge[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot++;
}
void dij() {
priority_queue<node> q;
q.push(node{S, 0, 0});
while(!q.empty()) {
node u = q.top();
q.pop();
int _k = u.k;
int _v = u.v;
if(vis[_v][_k] == 1)
continue;
vis[_v][_k] = 1;
for(int i = head[_v]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].to;
int w = edge[i].w;
if(dis[_v][_k] + w < dis[v][_k]) {
dis[v][_k] = dis[_v][_k] + w;
if(vis[v][_k] == 0)
q.push(node{v, dis[v][_k], _k});
}
if(_k < k && dis[_v][_k] < dis[v][_k+1]) {
dis[v][_k+1] = dis[_v][_k];
if(vis[v][_k+1] == 0)
q.push(node{v, dis[v][_k+1], _k+1});
}
}
}
}
int main() {
while(~scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T, &k)) {
tot = 0;
ans = inf;
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(dis, inf, sizeof(dis));
for(int i = 0; i <= 1000; i++) {
dis[S][i] = 0;
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
addedge(u, v, w);
addedge(v, u, w);
}
dij();
for(int i = 0; i <= k; i++)
ans = min(dis[T][i], ans);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
【K】 number 规律
给定一个由数字组成的字符串，求出是300倍数的子串个数。0，00都算，并考虑前导零的情况。
遍历一遍每次计算 \(\%3\)的值，如果本位和后一位都是 0，把之前统计的 \(cnt[sum]\) 的个数加上。
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5+5;
char s[maxn];
int cnt[3];
int main() {
while(~scanf("%s", s)) {
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
cnt[0] = 1;
int n = strlen(s);
ll ans = 0;
int sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
if(s[i] == '0' && s[i+1] == '0') {
ans = ans + cnt[sum];
}
if(s[i] == '0') {
ans ++;
}
sum = (sum + s[i]-'0') % 3;
cnt[sum]++;
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
