莫比乌斯反演入门解析
以下教程前半部分来自B站电子科技大学的视频 https://www.bilibili.com/video/av43470417?from=search&seid=9275043167445755699。菜鸡如我就还没看懂。
分割线后半部分教程来自 https://www.luogu.org/blog/An-Amazing-Blog/mu-bi-wu-si-fan-yan-ji-ge-ji-miao-di-dong-xi 。
教程一
问题引入
给定整数 N 和 M 。求满足 \(1 \leq x \leq N, 1 \leq y \leq M\) 且 \(gcd(x, y)\) 为质数的点对 \((x, y)\) 的个数。
数据范围： \(1 \leq N,M \leq 1000000\)
莫比乌斯（Mobius）函数：
\[\mu(x) = \begin{cases} 1 & \text{: } x = 1 \\ -1 & \text{: } x = p_1p_2...p_k(p_i为不相同质数) \\ 0 & \text{: 其他情况} \end{cases}
\]
线性筛
int prime[maxn], prime_tot;
bool prime_tag[maxn];
int mu[maxn];
void pre_calc(int lim) {
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= lim; i++) {
if(!prime_tag[i]) {
prime[++prime_tot] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1; j <= prime_tot; j++) {
if(i*prime[j] > lim) {
break;
}
prime_tag[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) {
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
else {
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}
狄利克雷卷积
\[(f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
积性函数
积性函数：指对于所有互质的整数 a 和 b 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论。
- 欧拉函数：\(\varphi(n)\)
- 莫比乌斯函数：\(\mu(n)\)
- 单位函数：\(Id(n) = n\)
- 不变函数：\(1(n) = 1\)
- 幂函数：\(Idk(n) = n^k\)
- 因子个数函数：\(d(n), d = 1*1\)
- 因子和函数：\(\sigma(n), \sigma = 1 * Id\)
- 因子函数：\(\sigma k(n)\)
- 狄利克雷卷积单位元：\(\varepsilon = [n == 1]\)
莫比乌斯反演
\[g(n) = \sum_{d|n}f(d) \rightarrow f(n) = \sum_{d|n} \mu(d)g(\frac{n}{d}) \\
g(n) = \sum_{n|d}f(d) \rightarrow f(n) = \sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(d)
\]
证明一
\[g = f * 1, \mu * g = f * 1 * \mu = f
\]
证明二
\[\begin{aligned}
\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(d) &= \sum_{k} \mu(k)g(nk) \\
&= \sum_{k} \mu(k) \sum_{(nk)|t}f(t) \\
&= \sum_{t}f(t) \sum_{(nk)|t} \mu(k) \\
&= \sum_{t}f(t) \varepsilon(\frac{t}{n}) \\
&= f(n)
\end{aligned}
\]
解决问题
求 \(\sum_{1\leq i \leq N} \sum_{1 \leq j \leq M}[gcd(i, j) == p]\)，p是质数
\[f(p) = \sum_{1\leq i \leq N} \sum_{1 \leq j \leq M}[gcd(i, j) == p]
\]
\[g(p) = \sum_{1\leq i \leq N} \sum_{1 \leq j \leq M}[p | gcd(i, j)]
\]
那么，
\[g(n) = \sum_{n|d}f(d) 且有 g(n) = \lfloor{\frac{N}{n}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{n}}\rfloor
\]
\[f(n) = \sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(d) = \sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) \lfloor{\frac{N}{d}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{d}}\rfloor
\]
\[\begin{aligned}
ans &= \sum_{n \in prime} \sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) \lfloor{\frac{N}{d}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{d}}\rfloor \\
&= \sum_{n \in prime} \sum_{t} \mu(t) \lfloor{\frac{N}{nt}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{nt}}\rfloor (t := d/n) \\
&= \sum_{1 \leq k \leq min(N,M)} \lfloor{\frac{N}{k}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{k}}\rfloor \sum_{n|k,n \in prime} \mu(\frac{k}{n}) (k := nt)
\end{aligned}
\]
\[sum(k) := \sum_{n|k,n \in prime} \mu(\frac{k}{n}) 可以预处理
\]
for(int i = 1; i <= prime_tot; i++) {
for(int j = 1; prime[i] * j <= up; j++) {
sum[prime[i] * j] += mu[j];
}
}
\[ans = = \sum_{1 \leq k \leq min(N,M)} \lfloor{\frac{N}{k}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{k}}\rfloor sum(k)
\]
整除分块
\(\lfloor \frac{N}{k} \rfloor(1 \leq k \leq N)\) 有约 \(2\sqrt{N}\) 个可能值。快速计算 \(\sum_{}\lfloor \frac{N}{k} \rfloor\) 的方法：
for(int l = 1; l <= N; l = r+1) {
r = N / (N/l);
ans += (r-l+1) * (N/l);
}
杜教筛
求 \(\sum^{n}_{i=1}\mu(i),n \leq 10^{12}\)
\[M(n) := \sum^{n}_{i=1}\mu(i)
\]
\[1 = \sum^{n}_{i=1}\varepsilon(i) = \sum^{n}_{i=1}\sum_{d|i}\mu(d) = \sum^{n}_{i=1}\sum^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}_{j=1}u(j) = \sum^{n}_{i=1}M(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)
\]
\[M(n) = 1 - \sum^{n}_{i=2}M(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)
\]
int mu_sum[maxn];
unordered_map<long long, int> mp;
int mu_calc(long long n) {
if(n < lim) {
return mu_sum[n];
}
if(mp.count(n)) {
return mp[n];
}
int ret = 1;
for(long long l = 2, r; l <= n; l = r+1) {
r = n / (n/l);
ret -= (r-l+1) * mu_calc(n/l);
}
return mp[n] = ret;
}
教程二
先记住
\[[gcd(i,j) == 1] = \sum_{d|gcd(i, j)} \mu(d)
\]
问题 #1
求
\[\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} [gcd(i, j) == 1] , \ \ (n < m)
\]
解法
\[原式 = \sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} \sum_{d|gcd(i, j)} \mu(d)
\]
然后枚举 \(d\) ，显然有 \(d\in(1,n)\ \ [d | gcd(i,j)]\) ，于是将 \(d\) 提到前面去，则 \(i、j\) 都是 \(d\) 的倍数，化简得：
\[原式 = \sum^{n}_{d=1} \mu(d) * \lfloor \frac{n}{d} \rfloor * \lfloor \frac{m}{d} \rfloor
\]
后面的两个除法可以用上面攻略里的整除分块进行 \(o(\sqrt{n})\) 复杂度的求解，当然也可以跑 \(o(n)\)。
问题 #2
求
\[\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} [gcd(i, j) == k] , \ \ (n < m)
\]
解法
和上一题很像对吧，同时除以 k：
\[原式 = \sum^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor}_{j=1} [gcd(i, j) == 1]
\]
之后就一模一样了。
问题 #3
求
\[\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} ij[gcd(i, j) == k] , \ \ (n < m)
\]
解法
也是同时除以 k ：
\[原式 = \sum^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor}_{j=1} ij[gcd(i, j) == 1] * k^2
\]
因为式子中 \(i、j\) 也被除了 k，需要在末尾补回来。
\[\begin{aligned}
原式 &= \sum^{\lfloor \frac{n}{kd} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{kd} \rfloor}_{j=1} ij \sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) * k^2 \\
&= \sum^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}_{d=1} \mu(d) * d^2 \sum^{\lfloor \frac{n}{kd} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{kd} \rfloor}_{j=1} ij * k^2 \\
&= k^2 * \sum^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}_{d=1} \mu(d) * d^2 \sum^{\lfloor \frac{n}{kd} \rfloor}_{i=1} i\sum^{\lfloor \frac{m}{kd} \rfloor}_{j=1} j
\end{aligned}
\]
然后就发现后两项是个等差数列，也能在复杂度 \(o(\sqrt{n})\) 下求出。
问题 #4
求
\[\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} lcm(i, j)
\]
解法
首先： \(lcm(i,j) = \frac{i*j}{gcd(i, j)}\)，那么：
\[\begin{aligned}
原式 &= \sum^{n}_{d=1}\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} \frac{i*j}{d} * [gcd(i, j) == d] \ \ （同时除d）\\
&= \sum^{n}_{d=1}\sum^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}_{j=1} i*j*d * [gcd(i, j) == 1] \\
&= \sum^{n}_{d=1}\sum^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}_{i=1} \sum^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}_{j=1} i*j*d \sum_{k|gcd(i,j)} \mu(k) \ \ （枚举k）\\
&= \sum^{n}_{d=1}d \sum^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}_{k=1} \mu(k)*k^2 \sum^{\lfloor \frac{n}{dk} \rfloor}_{i=1}i\sum^{\lfloor \frac{n}{dk} \rfloor}_{j=1}j
\end{aligned}
\]
此时已经 \(o(n)\) 了，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) 可以分一次块，\(\lfloor \frac{n}{dk} \rfloor\) 也可以分一次。所以是 \(o(n)\)。
后面原作者给出了更优解，我这里懒得贴过程了。也懒得记了。超出我承受范围了。
问题 #5
求
\[\sum^{n}_{i=1} \sum^{m}_{j=1} d(i*j)
\]
其中，\(d(i, j)\) 表示 \(i*j\) 的约数个数。
解法
拿出小本本记个公式：
\[d(i*j) = \sum_{x|i} \sum_{y|j} [gcd(x,y) == 1]
\]
怎么证明的，我不想知道...请移步原作者博客。
虽然我什么都还不会
就先这样好了，下班了QAQ。
