带修改离线主席树 + 树状数组 ZOJ - 2112【Dynamic Rankings】
带修改离线主席树 + 树状数组 ZOJ - 2112【Dynamic Rankings】
https://cn.vjudge.net/contest/304073#problem/E
题意
给定 n 个数和 m 次操作，操作分为两种：
-
Q x y z —— 询问 [x, y] 区间里的第 z 小的数
-
C x y —— 把第 x 个数变成 y
分析
mmp突然想起来可以分块...
这题属于带修改的主席树，需要用到树状数组维护。
如果用普通静态主席树的做法，每次更新都需要把 “该数所在树和之后的所有树” 都进行更新（由于前缀的性质），这样更新的最坏总复杂度为 \(O(n*m)\) 显然不行。
但是可以发现，对于改变 i 位置的值来说，对于 “该数所在树和之后的所有树” 的影响是相同的。因此只要在原来的基础上增加一类树，用于维护更新掉的数，所以我们可以用树状数组来记录更新，每次更新 \(log(n)\) 棵树。
因此我们需要用到离线来做，把题目所给定的所有修改后的值也加入 \(vector\) 中。第一轮建树的时候只需要把修改前的所有值进行建树。
对于更新，我们不改变这些已经建好的树，而是另建一类树S，用来记录更新。用树状数组来维护，也就是树状数组的每个节点都是一颗线段树。初始时，S[0]、S[1]、S[2]、S[3](树状数组的每个节点)这些都与 root[0] 相同（也就是空树 0）。
对于 （C 2 6）操作来说，我们只需要减去 2 ，加上 6 即可。对于减去2（树状数组 \(i+lowbit(i)\) 为 i 的父亲节点， 修改 i，就要把 i 的所有父亲节点都修改了）。因此要更新的是 S[2] 和 S[4] 这两个节点。
当查询的时候， \(sum\) 需要另外再加上 S树 的值之差。
代码
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 5e4+5;
int n, m, cnt;
int root[maxn];
int a[maxn];
vector<int> v;
int new_n;
int S[maxn]; // 树状数组维护的新树
int use[maxn]; // use记录要操作的线段树下标
struct node {
int l, r, sum;
}T[maxn*40];
struct Question {
int f;
int a, b, c;
}Q[maxn];
void init() {
v.clear();
memset(root, 0, sizeof(root));
for(int i = 0; i <= n*40; i++) {
T[i].l = T[i].r = T[i].sum = 0;
}
cnt = 0;
}
int getid(int x) {
return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
}
int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}
void build(int l, int r, int &rt) {
rt = ++cnt;
if(l == r) {
return ;
}
int mid = (l+r) / 2;
build(l, mid, T[rt].l);
build(mid+1, r, T[rt].r);
}
void update(int l, int r, int &x, int y, int pos, int f) {
T[++cnt] = T[y];
T[cnt].sum += f; // 1 or -1
x = cnt;
if(l == r)
return ;
int mid = (l+r) / 2;
if(mid >= pos) {
update(l, mid, T[x].l, T[y].l, pos, f);
}
else {
update(mid+1, r, T[x].r, T[y].r, pos, f);
}
}
void Add(int x, int c, int f) {
while(x <= n) {
update(1, new_n, S[x], S[x], c, f);
x += lowbit(x);
}
}
int Sum(int x) {
int ans = 0;
while(x > 0) {
ans += T[T[use[x]].l].sum;
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
int query(int l, int r, int a, int b, int x, int y, int k) {
if(l == r) {
return l;
}
int mid = (l+r) / 2;
int sum = Sum(b) - Sum(a) + T[T[y].l].sum - T[T[x].l].sum;
if(sum >= k) {
for(int i = a; i > 0; i -= lowbit(i)) {
use[i] = T[use[i]].l;
}
for(int i = b; i > 0; i -= lowbit(i)) {
use[i] = T[use[i]].l;
}
return query(l, mid, a, b, T[x].l, T[y].l, k);
}
else {
for(int i = a; i > 0; i -= lowbit(i)) {
use[i] = T[use[i]].r;
}
for(int i = b; i > 0; i -= lowbit(i)) {
use[i] = T[use[i]].r;
}
return query(mid+1, r, a, b, T[x].r, T[y].r, k-sum);
}
}
int main() {
// fopen("in.txt", "r", stdin);
// fopen("out.txt", "w", stdout);
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
init();
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
v.push_back(a[i]);
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
char f[10];
scanf("%s", f);
if(f[0] == 'Q') {
int l, r, k;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
Q[i].f = 0;
Q[i].a = l;
Q[i].b = r;
Q[i].c = k;
}
else {
int x, c;
scanf("%d%d", &x, &c);
Q[i].f = 1;
Q[i].a = x;
Q[i].b = c;
v.push_back(c);
}
}
sort(v.begin(), v.end());
v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
new_n = (int)v.size();
for(int i = 1; i <= n; i++) {
update(1, new_n, root[i], root[i-1], getid(a[i]), 1);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
S[i] = root[0];
}
for(int i = 1; i <= m; i++) {
if(Q[i].f == 0) {
for(int j = Q[i].a-1; j > 0; j-= lowbit(j)) {
use[j] = S[j];
}
for(int j = Q[i].b; j > 0; j -= lowbit(j)) {
use[j] = S[j];
}
int ans = query(1, new_n, Q[i].a-1, Q[i].b, root[Q[i].a-1], root[Q[i].b], Q[i].c) - 1;
printf("%d\n", v[ans]);
}
else {
Add(Q[i].a, getid(a[Q[i].a]), -1); // 减去修改前的值
Add(Q[i].a, getid(Q[i].b), 1); // 加上新值
a[Q[i].a] = Q[i].b;
}
}
}
return 0;
}
