[CERC 2018] Reservoir Dog
吃了语文不好的亏啊...
首先令 \(T_f=0\)，让 \(T_d\) 平移到原先 \(T_d-T_f\) 的时刻，这样可以方便我们后续的计算。接着考虑二分，因为我们懒得去想狗具体怎么蛇皮走位，所以为了省事可以二分答案来判断狗是否能够在指定位置接到盘子。假设狗接到盘子时的位置是 \((x,y)\)，那么根据平抛运动的公式可以得出：
也就是说如果我们二分了狗接盘子的横坐标 \(x\)，就可以很快计算出对应的纵坐标 \(y\) 以及时间 \(t\)，接着就只需要考虑如何判断狗是否能按时到达指定地点了。注意这里 \(\texttt{Clarifications}\) 说的是，狗的跳跃过程是瞬间获得能够跳到 \(H_d\) 高度的垂直速度，其实这还是有一点歧义的。真正的题意是：狗的跳跃过程是瞬间获得能够在未来某一时刻恰好到达 \(H_d\) 高度的速度（即到达 \(H_d\) 这个高度时正好垂直速度为 \(0\)）。也就是说不存在先到达 \((x,0)\)，再原地起跳直接到达 \(H_d\) 并在途中顺便接到处于 \((x,y)\) 的盘子这种情况的，也并不是说狗提前在某一时刻原地起飞到 \(H_d\) 之后再自由落体的，而是在竖直方向产生一个最高点为 \(H_d\) 的竖直上抛运动，本人就因为这个 \(\texttt{WA}\) 了好几发。
既然不能直接原地起跳接住盘子，那这也就意味着小狗需要先提前在某个位置跳起，再依靠重力让其水平方向到达 \(x\) 时恰好到达 \((x,y)\)。不过这里我们不能借助公式来计算小狗起跳时的位置，而是要考虑小狗在垂直方向的位移来计算跳跃所花费的时间，因为小狗在水平方向上移动的速度是不确定的。那么设小狗起跳后到达 \(y\) 这一高度所花的时间为 \(t_j\)，起跳时瞬间获得的竖直方向的速度为 \(v_0\)，就有方程：
在解这个方程前我们还需要先算出 \(v_0\) 的值，那么借助物理学中关于竖直上抛运动的一个公式 \(H=\frac{v_0^2}{2g}\)（可用动能定理证明）就能得出 \(v_0=\sqrt{6H_d}\)。带回到原式中解一个一元二次方程就能得到 \(t_j=\frac{\sqrt{6H_d}\pm \sqrt{6H_d-6y}}{3}\)，显然我们是要取更小的解。于是结合小狗要出发后才能起跳这一信息，我们得知了小狗能够到达 \((x,y)\) 的一个必要条件，那就是：
除了这一条件外，我们还需要保证 \(y\le H_d\) 以及 \(V_d\cdot (t-T_d)\ge x\) ，这样就能完成对小狗能否到达 \((x,y)\) 的判断，这时对应的答案就是 \(t+\frac{x}{V_d}\)。
当然不要忘了 \(\texttt{Clarifications}\) 中的另外一条：当飞盘落在地面上时瞬间停止运动。所以我们需要注意二分的区间，即飞盘落地时所处的位置 \(x_R\)。同样可以列出方程
算出 \(x_R=V_f\sqrt {2H_f}\) 就能够确定二分的右端点。最后再处理一下狗无法在空中接到盘子的情况，这一情况的答案为 \(\max(\frac{x_R}{V_f},T_d+\frac{x_R}{V_d})+\frac{x_R}{V_d}\)，取 \(\max\) 的部分是为了比较狗到达指定地点的时间和飞盘实际落地的时间，这样就大功告成了。
注意 \(\texttt{eps}\) 不要开太小，否则会因为精度问题而导致死循环。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ld double
const ld eps=1e-6;
ld tf,vf,hf,td,vd,hd,l,r,x,ans;
int main()
{
cin>>tf>>vf>>hf>>td>>vd>>hd;
td-=tf;
r=vf*sqrt(2*hf);
ans=max(r/vf,td+r/vd)+r/vd;
while(l+eps<r){
x=(l+r)*0.5;
ld t=x/vf;
ld y=hf-0.5*t*t;
if(hd>=y && (t-td)>=max(x/vd,(sqrt(6*hd)-sqrt(6*hd-6*y))/3))
r=x,ans=min(ans,t+x/vd);
else l=x;
}
printf("%.8f\n",ans+tf);
}
其实这题还有一种直接算答案的做法，大体思路就是把之前判断部分的式子重新写出来，然后算出每个不等式对应的约束，解完方程后再判断一下就好了，就是求解的过程略微有点麻烦，感兴趣的大佬们可以自行尝试。
