[2019HDU多校第一场][HDU 6584][G. Meteor]
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6584
题目大意：求所有满足\(0<\frac{p}{q}\leq1, gcd(p,q)=1,p\leq n,q\leq n\)的分数中，第\(k\)小的分数
题解：考虑二分答案，并用分数形式记录。假设当前二分的分数为\(\frac{p}{q}\)，则小于等于这个分数的个数为
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor}\sum_{d|i,d|j}^{ }\mu(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}^{ }\mu(d)\left \lfloor \frac{pi}{qd} \right \rfloor=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{pi}{q} \right \rfloor$$
这个式子可以通过预处理莫比乌斯函数的值，然后分块加类欧做到\(O(\sqrt{n}logn)\)的时间复杂度求解
在二分出答案后，只需找到最小的大于等于\(\frac{p}{q}\)的分数即可。官方题解使用了\(Stern-Brocot Tree\)，实际上通过枚举分母也可以做到\(O(n)\)求解
我的代码跑了7347ms...和之前的A还有K题一样极限_(:з」∠)_
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 1000001 4 #define LL long long 5 LL T,n,k,cnt,p[N],mu[N],v[N]; 6 #undef LL 7 struct Frac 8 { 9 #define LL __int128 10 LL p,q; 11 void simp() 12 { 13 LL d=__gcd(p,q); 14 p/=d,q/=d; 15 } 16 Frac operator +(const Frac &t)const 17 { 18 Frac tmp; 19 tmp.q=q*t.q; 20 tmp.p=p*t.q+q*t.p; 21 tmp.simp(); 22 return tmp; 23 } 24 Frac operator /(const LL &t)const 25 { 26 Frac tmp; 27 tmp.p=p; 28 tmp.q=q*t; 29 tmp.simp(); 30 return tmp; 31 } 32 bool operator <(const Frac &t)const 33 { 34 return p*t.q<q*t.p; 35 } 36 bool operator <=(const Frac &t)const 37 { 38 return p*t.q<=q*t.p; 39 } 40 #undef LL 41 }; 42 void pretype() 43 { 44 #define LL long long 45 mu[1]=1; 46 for(LL i=2;i<N;i++) 47 { 48 if(!v[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1; 49 for(LL j=1;j<=cnt && i*p[j]<N;j++) 50 { 51 v[i*p[j]]=1; 52 if(i%p[j]==0)break; 53 mu[i*p[j]]=-mu[i]; 54 } 55 } 56 for(LL i=1;i<N;i++) 57 mu[i]+=mu[i-1]; 58 #undef LL 59 } 60 #define LL __int128 61 LL f(LL a,LL b,LL c,LL n) 62 { 63 LL m=(a*n+b)/c; 64 if(!a || !m)return 0; 65 if(a>=c || b>=c)return n*(n+1)/2*(a/c)+(b/c)*(n+1)+f(a%c,b%c,c,n); 66 return n*m-f(c,c-b-1,a,m-1); 67 } 68 LL check(Frac k) 69 { 70 LL res=0; 71 for(LL i=1;i<=n;i++) 72 { 73 LL j=n/(n/i); 74 res+=(mu[j]-mu[i-1])*f(k.p,0,k.q,n/i); 75 i=j; 76 } 77 return res; 78 } 79 LL ceil(LL x,LL y){return (x-1)/y+1;} 80 #undef LL 81 void Find(Frac k) 82 { 83 #define LL long long 84 Frac ans={1,1}; 85 for(LL i=1;i<=n;i++) 86 ans=min(ans,{ceil(k.p*i,k.q),i}); 87 ans.simp(); 88 printf("%lld/%lld\n",(LL)ans.p,(LL)ans.q); 89 } 90 void init() 91 { 92 scanf("%lld%lld",&n,&k); 93 Frac l={1,n},r={1,1},mid; 94 while(l+(Frac){1,n*n}<=r) 95 { 96 mid=(l+r)/2; 97 if(check(mid)<k)l=mid; 98 else r=mid; 99 } 100 Find(l); 101 } 102 int main() 103 { 104 //freopen("test.in","r",stdin); 105 //freopen("test.out","w",stdout); 106 pretype(); 107 scanf("%lld",&T); 108 while(T--)init(); 109 return 0; 110 }
