换元五讲——高中版
前言
换元法作为高中数学的一种重要手段，其内涵简单，但是外延极广。在这一课中，我们将共同学习换元法的基本思想与常见形式。
P1基本思想
换元，即通过变换原代数结构中的变量，以达到重整结构、简化运算等功效
它并不只局限于一隅，在高中数学的圆锥曲线、函数与导数、向量等多个考查领域均有它的身影
P2常见形式
1整体换元
小学生都会，不多说。难点在于怎么选取代换的整体，做一些题就明白了。
2倒数换元
这也是一种比较基础的换元方法。在某些复杂或超越结构中出现\(\frac{1}{x}\)时，可以考虑构造\(t=\frac{1}{x}\)；当然有时哪怕没有\(\frac{1}{x}\)的结构，也可以构造出它然后再进行倒数换元。
3均值换元
这是一种基于对称性产生的联想。对于代数结构\(a+b=m\)我们可以考虑将a,b重新构造，形成 \(a=x-y,b=x+y\) 其中 \(x=\frac{m}{2}\) 的形式。这样\(a,b\)就表现出了一定的对称性，有利于我们的解题。
4对勾或飘带换元
这是基于分式性质的联想，可以消去某些中间项。
\(在关于x的一元n次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n=0\)中，令\(x=t-\frac{m}{t}或t+\frac{m}{t}\)
前段时间流行的韦神方程就可以这样解决。
5三角换元
三角换元可以说是应用最广泛的换元手段之一。其中常见的有下列：
- \(a^2+b^2=m^2,令a=mcosx,b=msinx\)
- \(a^2-b^2=m^2,令a=msecx,b=mtanx\)
- \(利用万能公式sin2x=\frac{2tanx}{1+tan^2x},cos2x=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x},tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}的换元\)
- \(利用n倍角公式或特殊和差角公式对数列进行的换元\)
不过它对三角函数计算与变形的基本功要求极高。
