【模板】快速幂
(还记得大明湖畔的快速幂吗?)
先提一个小问题,怎么求a的n次方?
当然是暴力。。直接乘就好啊。。
等等,当n=10e+9怎么办?(当然我知道这玩意一般还要再模一个c)
难不成你还想。。(不你不想)
这时,蒟蒻默默打出一个问号。。(所以我去学了快速幂)
————快速幂
原理:
首先,有这样一个公式
(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c;
(a^b)%c=((a%c)^b)%c
长得好奇怪。。但其实和实数运算法则一样。。
这样就有下面的第一步优化,为了使求出来的值不超long long
int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for(int i = 1;i<=b;i++)ans = ans * a; ans = ans % c;
(但是这样也还是会超。。)
再看一下上面的公式,既然先相乘再取余与先取余再相乘再取余一样,那就可以给每一步的结果ans取余。
int ans = 1; a = a % c; for(int i = 1;i<=b;i++)ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余 ans = ans % c;
这时的时间复杂度为O(b)
虽然现在不会溢出,但是当b很大的时候还是会超时
然后,有这样一个公式
a^b%c==((a^2)b/2)%c == ((a^2 % c)b/2)%c b为偶数
a^b%c==(a*(a^2)b/2)%c == (a*(a^2 % c)b/2)%c b为奇数
这样,就可以进一步优化为:
int ans = 1; a = a % c; k = (a*a) % c; //相当于用k代替了a2 if(b%2==1) ans = (ans * a) % c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans中 for(int i = 1;i<=b/2;i++) ans = (ans * k) % c; ans = ans % c;
这时的时间复杂度是O(b/2)
还是远远不够啊。。
但是,由上面的一次优化可以发现,我们已经把a^b%c转换成了k^(b/2)%c
而K^(b/2)%c是可以继续迭代下去的
例如,
下一步再令 x=(k*k)%c 偶数就是求 x^b/4 % c 奇数就是 (x^b/4 % c*a)% c
再下一步令 y=(x*x)%c 偶数就是求 y^b/8 % c 奇数就是 (y^b/8 % c*a)% c
...... 直到指数b ==0
当然,对于奇数的情形会多出一项a % c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过ans = (ans * a) % c; 来弥补多出来的这一项
int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 == 1)ans = (ans * a) % c; //奇数,补一项 b = b/2; a = (a * a) % c; } cout<<ans<<endl;
这时的时间复杂度是O(logb)
就是完整的快速幂算法!
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; long long int a,b,c; long long int ans=1,bent; int main() { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); bent=a; while(b) { if(b&1) ans=(ans*bent)%c; bent=(bent*bent)%c; b/=2; } printf("%d",ans); return 0; }
看一道题吧。。这个是裸的快速幂(点击收获RP)先把板子打会吧。。
(RP++!)