一些数学公式

n的所有正约数的和为 \(\prod_{i=1}^{m}{(\sum_{j=0}^{c_i}{(p_i^j)})}\)

费马小定理：若p为质数对于任意整数a\(a^p\equiv a (mod p)\) 若a不为p的倍数\((a^{p-1}\equiv 1 (mod p))\)

欧拉定理：若正整数a,n互质，则\(a^{\varphi(n)}\equiv1(mod n)\)

欧拉定理推论：若正整数a,n互质，则对于任意整数b，有\(a^b\equiv a^{b mod \varphi(n)}(mod n)\)

若a mod p=x,a mod q=x,其中p,q互质,则\(a mod (pq)=x\)

扩展欧几里得算法定理一：设a,b不全为0,则存在整数x,y,使得\(ax+by=gcd(a,b)\)

扩展欧几里得算法定理二：对于不定方程\(ax+by=c\)当且仅当\(gcd(a,b)|c\)时，方程有整数解

中国剩余定理：

若\(m_1,m_2 \cdots m_n\)是两两互质的正整数,\(M=\prod_{i=1}^{n}{m_i},M_i=M/m_i,ti\)为线性同余方程\(M_it_i\equiv1(mod m)\)的一个解.对于任意个整数\(a_1,a_2,a_3\cdots a_n\) 则同余方程组

\(x\equiv a_1(mod m_1)\)

\(x\equiv a2(mod m_2)\)

\(\cdots\cdots\)

\(x\equiv a_n(mod m_n)\)

有整数解为\(x=a_1M_1t_1+a_2M_2t_2+a_3M_3t_3+\cdots+a_nM_nt_n\)并且在模M意义下有唯一解

排列数公式:\(P^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\)

组合数公式:\(C^m_n=\frac{n!}{((n-m)!\times m!)}\)
\(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)
n个数分成m段(可为空)方案数为\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

Catalan数:\(Cat_n=\frac{1}{n+1}\times C^n_{2n}\)
1.n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列的个数为\(Cat_n\)
2.1,2\(\cdots\)n经过一个栈,形成的合法出栈序列个数为\(Cat_n\)
3.n个节点构成的不同二叉树的数量为\(Cat_n\)
4.在平面直角坐标系上,每一步只能向上或向右走,从(0,0）到(n,n)并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数为\(2\times Cat_{n-1}\)

卢卡斯定理:\(lucas(n,m)mod p=lucas(n/p,m/p)*C(n mod p,m mod p)mod p;p为质数\)

求阶乘的乘法逆元，先将\(n!\)的乘法逆元求出，然后\(a!\)的逆元就是\(a*inv[a+1]\ mod \ mo\)

\(p\)为质数,如果\(p|x\)(为质数)

\(\phi(x*p)=\phi(x)*p\)

否则\(\phi(x*p)=\phi(x)*(p-1)\)