网课-计算几何、线性代数、博弈论学习笔记2

线性代数

高斯消元

（注：上述结论的前提是进行了完全的高斯消元。）

• Vasya and Shifts

  将 \(q\) 次高斯消元中的 \(b\) 放在一起做即可。（矩阵求逆一题也可以用类似思路解决。）

  Trick：同时进行多个相似矩阵高斯消元。

• P3232 [HNOI2013] 游走

  高斯消元解决随机游走经典题。

• DZY Loves Games

  太好了又可以水一道黑

  1. 先将答案写作矩阵快速幂形式，推出需要解决陷阱房之间概率情况。

  2. 用 CF832E 的 Trick 优化高斯消元。

• Random Walk

  先考虑暴力高斯消元，发现过不去。

  考虑 主元法，以期望次数确定的 \(t\) 节点为根，然后求出所有节点关于 \(t\) 的一次函数即可。

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线性基

再补充几个：

5. 求第 \(k\) 大的：（？）

6. 对于每个能过够表出的 \(x\)，有几种表出方案：方案数即为 \(2\) 次方的自由元个数。

• P3292 [SCOI2016] 幸运数字

  树上路径建立线性基。需要用到线性基合并...

• P4151 [WC2011] 最大XOR和路径

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行列式、矩阵树定理

行列式我推荐之前 skc 讲的版本：link

矩阵树定理则是 tzc_wk 的表达比较清晰，到时候用的时候直接背结论：

1. 无向图生成树个数：

   

2. 边带权，求所有生成树权值之积的和：

   

3. 有向图生成树个数（需要指定根）：

   

• P4336 [SHOI2016] 黑暗前的幻想乡

  似乎有一个容斥的外壳。

• P6624 [省选联考 2020 A 卷] 作业题

  看到 \(\gcd\) 我们应当想到用莫比乌斯反演。

  好像有非常巧妙的将“加法 \(\rightarrow\) 乘法”的做法——一次函数乘积的一次项。

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博弈论

之前写的：link

OI 中所研究的公平组合游戏一般不会存在平局。这时状态可以看作一个 DAG。

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阶梯 Nim

理解证明了，因为最后一级为 0，是一个偶数，它不能再下放。

阶梯 Nim 的两种形式：

1. 将后一级的石子放到前一级。

2. 正常从每一级拿除石子，但前一级的石子数不能多于后一级。

前者为后者的差分形式（但数组似乎是反着的？）。

• P5363 [SDOI2019] 移动金币

  看了一下大概是有个博弈论外壳的计数 DP 题。

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计算几何

基本向量操作

将右手的食指指向 \(u\)，向 \(v\) 的方向转，大拇指向上则 \(u \times v\) 为正，反之为负。

极角从小到大：

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凸包

• P2742 [USACO5.1] 圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包

  做一遍上凸包，再做一遍下凸包。

闵可夫斯基和

很好的参考资料：@夏天/isummer 的博客

\(A, B\) 求和后再求一次凸包，得到 \(C\)。

从形象的角度理解，可以想象凸包 \(A\) 沿着凸包 \(B\) 的边向量的方向移动，转了一圈，最终画出的轮廓就是 \(C\)。见下图，粉色图形即 \(C\)：

观察到 \(C\) 中所有的边不是来自 \(A\) 就是来自 \(B\)，于是我们就可以将 \(A, B\) 的所有边向量抽出来进行极角排序得到的结果就是 \(C\) 了。

对了，还差一点，这里我们只得到了 \(C\) 的轮廓而没有得到其具体坐标。考虑确定其最上端的点，显然 \(A\) 的最上端点加上 \(B\) 的最上端点就是 \(C\) 的最上端点。

这样就做完了！（真的很简洁）

• P8101 [USACO22JAN] Multiple Choice Test P

  这道题涉及到求多个凸包的闵可夫斯基和。而根据我们上面的分析，实际根本不需要两个两个地合并凸包，直接将所有凸包的边抽出来即可。