网课-基础优化技巧
三分
三分等价于二分斜率。
因此完全可以求导后直接做二分。
01 分数规划
整体二分
对多个个体同时做二分。
具体地，将满足某个条件、不满足某个条件的询问分为两类，进行分治。
因此，是一个离线算法。
考虑对单个星球二分。则基础想法是以时间为线段树下标，在主席树中二分。
考虑拓展到整体二分。则基础想法是二分时间，试着加入陨石雨。可以用树状数组做到 \(O(n \log^2 n)\)，也有差分 + 离散化 \(O(n \log n)\)。
分治
主要思想大概是把大问题分成小问题再合并起来。
所以一般要求问题有可分性， 同时有可合并性。
CDQ 分治：排序解决 \(a_i\)，归并解决 \(b_i\)，树状数组解决 \(c_i\)。
有趣东西：高维偏序的 bitset 做法
CDQ 例题：P4655 [CEOI2017] Building Bridges
CDQ 分治处理点对问题。
见到形如 \(n \times m\) 的形式，我们可以想到：
最小值上界、最大值下界 为根号。
考虑分治。每次分治，考虑对当前矩形的长边进行分治，处理短边。
令 \(w = n \times m\)，根据主定理，分治部分有复杂度：\(T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n^{\frac{3}{2}} \log n = O(n^{\frac{3}{2}} \log n)\)。
查询部分复杂度另算。其实我们不一定要保证只在一层就更新到查询的答案。复杂度：\(T(n) = T(\frac{n}{2}) + q\sqrt{n} = O(q\sqrt{n})\)。
对于分治问题，我们一定要注意：
-
要么：每一层的操作复杂度一定为严格关于 \(n\) 的多项式函数。
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要么：分治一类东西，但操作复杂度也关于 \(n\)。
一个左、中、右三者匹配的问题，也是点对形的 CDQ 分治。
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（分治从哪里切开是无所谓的。。。）
倍增
看上去像废话一样的步骤：
-
观察到可以倍增（某种单调性）。
-
转化原问题。
哈希
用于判相等。
字符串哈希：选取一个大质数 \(M\) 与一个随机奇数 \(P\)，将字符串看作模 \(M\) 意义下的 \(P\) 进制数。比较次数较大时，需要使用双模数（\(10^9+7,10^9+9\)）。
哈希的要点：设计合适的哈希函数，使得你想要保留的特征被保留，不希望保留的特征不被保留。
我们不用保留“顺序”这一特征。因此对每个数赋随机权值，做异或哈希即可。
Trie
Trie 可以反映两个字符串之间的前后缀关系。
通过字典树得到字符串之间的前后缀关系，以比较大小关系。再用拓扑排序辅助。
01Trie 经典应用：最大异或数对。
等一会儿，等一会儿。
KMP
border(s)：关于字符串 s 的一个字符串集合，满足其中的所有字符串都同时为 s 的前缀和后缀。
next[s]：字符串 s 的最长 border 对应的前缀（的下标）。
去看题解的线性做法。
需要注意的一点是，我们一直都是对模式串做预处理的。
KMP 自动机：
实际是 AC 自动机的弱化形式。设 \(trans[x][c]\) 表示模式串匹配到第 \(x\) 位后，文本串下一个字符为 \(c\)，模式串最多匹配到哪一位。查询时按照文本串遍历即可。
以下两道题就是常规的自动机上 DP：
下面这道题要用到可持久化 KMP 自动机（？）：
记忆化搜索
路径条数统计问题。
跑最短路，得到最短路长度数组 \(dis[x]\)。有显然 DP 设 \(f[x][w]\) 表示 \(1 \sim x\) 长度为 \(dis[x]+w\) 的路径条数。按照 \(dis[x]+w\) 排序遍历每一个状态；如果遇到 0 边，还需考虑拓扑序的问题。
【如果用记忆化搜索的话，我们就不用考虑“拓扑序”的问题了。这就是它的优势。】
另外还要注意判最短路经过 0 环的情况。只用找出所有 0 环，并建反图判断其上的点是否可能在路径上即可。
meet in the middle
将原有数据分成两部分分别进行搜索，最后在中间合并。
信息需要可单次合并。
一般 \(n\) 的范围在 \(40 \sim 50\)。meet in the middle 可使复杂度开根号。
没有听懂一点。
剪枝
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可行性剪枝：如果当前分支已经和题目要求的不同那么就直接忽略。
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最优化剪枝：如果当前分支没有之前已经搜索过的优，则不再往下搜索。
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冗余性剪枝：当几个枝桠具有完全相同的效果的时候，只选择其中一个走就可以了。
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顺序剪枝：结合了上面几种剪枝，不同的搜索顺序就可以有天差之别。如果是再特殊构造的数据中，将数据随机打乱可以获得不错的效果。另外将搜索算法与贪心结合，也可能得到很好的效率。
离散化
有时可能还需要保留关键点附近的点。（例：\(x-1, x, x+1\)）
扫描线 & 二位数点
将信息抽象为一个二维正方形（二维数点），我们将一维按照偏序关系遍历，过程中记录另一维信息。
还有一种扫描线一维是右端点，一维是左端点。具体来说就是从左往右扫右端点，用 ds 维护每个点作为左端点的答案。
可持久化线段树是扫描线的在线形式。
区间数颜色问题（卡莫队！）。
记录每种颜色第一次出现的位置，即满足可减性，可以做二位数点。
变体：给定一个序列，每次查询区间中出现偶数次的数的异或和。
- 给定一棵 \(n\) 个点的树，有 \(q\) 次查询，每次查询区间 \([l,r]\)，表示询问当这个树仅剩点和边的编号在 \([l,r]\) 之间时连通块的个数。\(1 \le n \le 10^6\)。
可以发现答案为点数减去端点均在 \([l,r]\) 内的边数。于是可以转化为二维数点问题。
建立 Trie，通过 DFS 序抽象为二维数点问题。
做扫描线，考虑每一个 \(r_q\) 做询问右端点时的情况。
先考虑单个下标 \(c_i\)。对于其，我们要维护它最近一次被染色的操作编号 \(x\)。对于 \(l_q > x\)，\(c_i\) 没有贡献；否则 \(l_q \le x\)，\(c_i\) 的贡献即为 \(v_x\)
对于多个 \(c_i\)，即可转化为二维数点，做颜色段均摊 + 树状数组。
如果将 \(c\) 数组的不同下标看作颜色，其实可以发现这是一个和 P1972 [SDOI2009] HH的项链 很像的题目
数据结构启发式合并
现在有若干集合大小总和为 \(n\) 的若干集合，不妨设它们是 \(n\) 个大小为 \(1\) 的集合。将它们合并为一个集合，可以发现合并的过程等价于二叉树结构。如果我们采用启发式合并，等价于操作轻子树。反过来考虑每一个点，它被合并的次数等价于它到根的路径上的轻边数量，而这个数量为 \(O(\log n)\)。故总复杂度为 \(O(n \log n)\)。
例子：并查集按秩合并、平衡树启发式合并（直接用 set/map 做是 \(O(n \log^2 n)\) 的，使用带 finger-search 功能的平衡树则只用 \(O(n \log n)\)；但其实不如直接使用 fhq-treap 自带的合并功能。）
注意不能引入与合并无关的操作，否则复杂度会假。
写法用到 map 套 vector。
树上启发式合并（dsu on tree）
一种用于解决子树静态离线点对问题的做法。
reference：自为风月马前卒 - dsu on tree入门
以板题为例：
- 给定一棵有根树，并给定每个点的颜色。试统计每个子树内的不同颜色数。
预处理出轻重儿子，然后 DFS 扫描，统计每种颜色出现次数 \(bjt\) 数组：
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先递归处理轻儿子，并不计算其对 \(bjt\) 的贡献。
-
递归处理重儿子，计算其对 \(bjt\) 的贡献。
-
二次扫描所有轻儿子的子树，计算其对 \(bjt\) 的贡献。
由于每个节点到根的路径上最多有 \(O(\log n)\) 条轻边，故每个节点最多被遍历 \(O(\log n)\) 次，总复杂度为 \(O(n \log n)\)。
Gemini7X 给的课件写得有问题。这篇题解 写得更好。
初步想法是使用一个桶，这个桶肯定有一维与二进制位是相关的。
观察发现如果满足 \(v_y+d(x, y) \equiv 2^k-1 \pmod{2^k}\)，那么再 \(+1\) 后，第 \(k+1\) 位异或结果会取反。为了桶能够记录一个不变值，我们将 \(x, y\) 项分离得到：\(v_y + d(1, y) \equiv d(1, x) \pmod{2^k}\)。
接着再用 dsu on tree 维护这个桶，以及当前异或结果即可。
【实际这个思维过程中的记录使得其“取反”这一条是比较反人类的（正常人肯定是想怎么去记录位是否为 1。。。）。可以学习这一点：记录其是否变化，而不记录其本身。】
启发式分裂
合并的逆向过程。
- 有 \(n\) 个奖杯，第 \(i\) 个奖杯的颜色是 \(c_i\)。 还有一个长度为 \(n\) 的数组 \(f\) ，并且保证这个数列单调递减。一个长度为 \(l\) 的奖杯区间是好的，当且仅当这个区间中的所有颜色的出现次数均不小于 \(f[l]\)。现在他想要找到最长的好的区间，他让你来帮他完成这个任务。
不懂。大概就是区间分裂时尽量选择较短的区间。
