0/1分数规划学习笔记
一、基本思想
给定 \(n\) 对整数 \(a_i, b_i\)，从中选出若干对，使选出的数中，\(a\) 的和与 \(b\) 的和的比值最大。
即设定 \(x_i \in \{0, 1\}\)，使得下式最大：
\[\dfrac{\sum_{i=1}^n a_i*x_i}{\sum_{i=1}^n b_i*x_i} \]
主要思想为 二分答案。猜一个值 \(T\)，则可以将如下判定：
\[\dfrac{\sum_{i=1}^n a_i*x_i}{\sum_{i=1}^n b_i*x_i} \ge T
\]
转化为如下判定：
\[\sum_{i=1}^n (a_i-b_i*T)*x_i \ge 0
\]
本着 贪心 的原则，我们选择所有 \(a_i-b_i*T > 0\)。有如下结论：
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当 存在 一个方案，使得上式 \(\ge 0\) 时，则 \(ans \ge T\)。
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当对于 任意 一个方案，都有上式 \(< 0\)，则 \(ans < T\)。
\(O(n)\) 贪心选取，\(O(\log n)\) 二分，总时间复杂度 \(O(n \log n)\)。
同理，我们也可以求解分数规划的最小值。这时只要把结论什么的都反过来就行了。
二、题目
题目就是在上面的基础模型上加了许多限制。比如，不是选出任意对而是必须选出 \(k\) 对。但这些限制条件都不会影响我们做二分答案，只是在贪心选取时必须将这些限制考虑进去罢了。
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最优比率：分数规划 + 个数限制。
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P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G：分数规划 + 01 背包。
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P1642 规划：分数规划 + 树形 DP。
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最优比率生成树：分数规划 + 最小生成树。
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P3199 [HNOI2009] 最小圈、P2868 [USACO07DEC] Sightseeing Cows G、P3288 [SCOI2014] 方伯伯运椰子：分数规划 + 判负权环。其中“方伯伯运椰子”一题类比网络流，使用了 建反向边 的技巧模拟一个相反操作。
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P5319 [BJOI2019] 奥术神杖：看到乘法 + 几何平均数时，通过对任意一个数 取对数 的方法转化为平均数问题。
