计算几何学习笔记

点、向量、直线、线段

在结构体中储存横纵坐标即可。

横纵坐标直接加、减、乘。

定义：令 $A = (x_{1}, y_{1}), B = (x_{2}, y_{2})$ ，二者夹角为 $θ$ ，则有 $A \cdot B = | A | | B | \cos θ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ （结果为标量）。
作用：求 $A, B$ 夹角。点积为正，夹角锐角；点积为负，夹角钝角。

定义：令 $A = (x_{1}, y_{1}), B = (x_{2}, y_{2})$ ， $A$ 逆时针旋转 $θ$ 到 $B$ ，则有 $A \times B = | A | | B | \sin θ = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 。
含义：标量，表示 $A, B$ 形成的平行四边形有符号面积，其正负满足“右手定则”（即若 $A$ 在 $B$ 的顺时针方向，则 $A \times B$ 为正，逆时针则为负，这也可以通过将食指指向 $A$ 、中指指向 $B$ 大拇指的方向来判断）。
作用：
- 判断向量逆、顺、共线关系。
- 计算平行四边形、三角形面积。

设向量 $(x, y)$ 逆时针旋转 $θ$ 得到 $(x^{'}, y^{'})$ ，有：

x^{'} = x \cos θ - y \sin θ

y^{'} = x \sin θ + x \cos θ

直线一般使用“点 + 向量” / “点 + 点”储存表示。

线段储存两个端点。

点与线位置关系
- 点与（有向）直线：用叉积判断逆时针、顺时针、在直线上。
- 点与线段：用叉积判断共线，用点积判断重合。
点与线距离
- 点与点
- 点与直线：直线上取两点，用叉积求和点形成的平行四边形面积，再除以底边长。
- 点与线段：用点积判断点的投影是否在线段上，再按照“点与直线”或“点与点”的方法计算。
点关于直线的变换
- 投影：设直线为 $(p_{1}, p_{2})$ ，点为 $p$ ，则用点积算出 $\vec{p_{1} p}$ 在 $\vec{p_{1} p_{2}}$ 上的投影向量，随即算出投影点。
- 对称：求出投影点以后作向量加减法即可。
线与线位置关系
- 直线与直线的位置关系：用叉积判平行，再用点线关系特判是否共线。
- 线段与线段的位置关系：先特判共线的情况；再用叉积检查两条线段是否都满足“另一条线段的两个端点在异侧”，成立则相交。
线与线交点
- 直线与直线的交点：
  
  求直线 $A B, C D$ 的交点 $E$ ：
  
  $\frac{x_{D} - x_{E}}{x_{E} - x_{C}} = \frac{y_{D} - y_{E}}{y_{E} - y_{C}} = \frac{| D E |}{E C} = \frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ A B C}} = \frac{\vec{A D} \times \vec{A B}}{\vec{A B} \times \vec{A C}}$
  容易解出 $E$ 的坐标。
  
  这个方法实质对直线上任意位置关系的 $A, B, C, D$ 都是成立的，但我不知道怎么证（
- 线段与线段的交点：判断位置关系后转化为直线交点问题。