网课-微积分学习笔记
微分
有时也写作 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)。
常见函数导数：
可以认为，\(e\) 的定义就是 \((e^x)' = e^x\)。
导数是一个线性的算子，即：
其中 \(f'(g(x))\) 指的是在求出 \(f'(x)\) 后把 \(g(x)\) 代入。
（以上定律根据 \(f(x+\Delta) = f(x)+f'(x)\Delta+o(\Delta)\) 可证。）
积分
不定积分是导数的逆运算，记作 \(\int f(x)\)。
还有一个含义是 \([a, b]\) 上有向面积。
可以通过积分/微分转化，求得一些函数的封闭形式/级数（无穷多项式）形式。
泰勒展开
泰勒展开是一种把任意函数展开成级数（无穷多项式）的方法。
令 \(f^{(i)}(x)\) 表示 \(f(x)\) 的 \(i\) 阶导数，则 \(f(x)\) 的泰勒级数为：
\[g(x) = \sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i
\]
它本质就是选择一个点（这个地方选择的是 0），然后对这个点不断地求 1 阶导、2 阶导、3 阶导……并每一次对函数 \(g(x)\) 进行调整，使得它同样满足 \(g^{(i)}(x) = f^{(i)}(x)\)。而这调整的一步会致使出现 \(i!\) 项。这样一直进行，它们到最后会无穷相似。
（例：\(f(x) = \dfrac{1}{1-x}\) 的泰勒级数。）
当然，不是所有函数一定能找到完全符合的泰勒级数。
常见函数的泰勒级数：
\[e^x = x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots
\]
\[\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots
\]
\[(x+a)^n = \sum^{\infty}_{i=0}\dbinom{n}{i}a^{n-i}x^i
\]
（哈哈，这里就回扣了 组合数学学习笔记 广义二项式定理的坑了！）
