网课-微积分学习笔记

微分

image

有时也写作 dydx

常见函数导数:

image

可以认为,e 的定义就是 (ex)=ex

导数是一个线性的算子,即:

image

image

其中 f(g(x)) 指的是在求出 f(x) 后把 g(x) 代入。

image

(以上定律根据 f(x+Δ)=f(x)+f(x)Δ+o(Δ) 可证。)


积分

不定积分是导数的逆运算,记作 f(x)

image

image

还有一个含义是 [a,b] 上有向面积。

可以通过积分/微分转化,求得一些函数的封闭形式/级数(无穷多项式)形式。

image

image


泰勒展开

泰勒展开是一种把任意函数展开成级数(无穷多项式)的方法。

f(i)(x) 表示 f(x)i 阶导数,则 f(x) 的泰勒级数为:

g(x)=i=0f(i)(0)i!xi

它本质就是选择一个点(这个地方选择的是 0),然后对这个点不断地求 1 阶导、2 阶导、3 阶导……并每一次对函数 g(x) 进行调整,使得它同样满足 g(i)(x)=f(i)(x)。而这调整的一步会致使出现 i! 项。这样一直进行,它们到最后会无穷相似。

image
(例:f(x)=11x 的泰勒级数。)

当然,不是所有函数一定能找到完全符合的泰勒级数。

常见函数的泰勒级数:

ex=x+12!x2+13!x3+

sinx=xx33!+x55!x77!+

(x+a)n=i=0(ni)anixi

(哈哈,这里就回扣了 组合数学学习笔记 广义二项式定理的坑了!)

posted @   David_Mercury  阅读(19)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新:园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源!
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】
点击右上角即可分享
微信分享提示