网课-微积分学习笔记

微分

有时也写作 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

常见函数导数：

可以认为，$e$ 的定义就是 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$。

导数是一个线性的算子，即：

其中 $f^{\prime }(g(x))$ 指的是在求出 $f^{\prime }(x)$ 后把 $g(x)$ 代入。

（以上定律根据 $f(x+\mathrm{\Delta })=f(x)+f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }+o(\mathrm{\Delta })$ 可证。）

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积分

不定积分是导数的逆运算，记作 $\int f(x)$。

还有一个含义是 $[a,b]$ 上有向面积。

可以通过积分/微分转化，求得一些函数的封闭形式/级数（无穷多项式）形式。

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泰勒展开

泰勒展开是一种把任意函数展开成级数（无穷多项式）的方法。

令 $f^{(i)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $i$ 阶导数，则 $f(x)$ 的泰勒级数为：

$$g(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(i)}(0)}{i!}}{x}^i$$

它本质就是选择一个点（这个地方选择的是 0），然后对这个点不断地求 1 阶导、2 阶导、3 阶导……并每一次对函数 $g(x)$ 进行调整，使得它同样满足 $g^{(i)}(x)=f^{(i)}(x)$。而这调整的一步会致使出现 $i!$ 项。这样一直进行，它们到最后会无穷相似。

（例：$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ 的泰勒级数。）

当然，不是所有函数一定能找到完全符合的泰勒级数。

常见函数的泰勒级数：

$$e^x=x+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+\cdots$$

$$\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-{\displaystyle \frac{x^7}{7!}}+\cdots$$

$$(x+a{)}^n=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^{n-i}{x}^i$$

（哈哈，这里就回扣了 组合数学学习笔记 广义二项式定理的坑了！）