网课-组合数学学习笔记

Preface

“用组合意义刻画左右两边，然后发现左右两边讲的是同一个东西。”

“一堆括号乘起来，相当于每个括号里挑一个乘起来，再相加。”

处理求和问题的技巧：当遇到瓶颈时，试着调换 $\sum$ 的顺序是一个好办法。

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加法、乘法原理

• 加法原理：同一步之间

• 乘法原理：不同步之间

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排列

$$A_n^m={\displaystyle \frac{n!}{(n-m)!}}$$

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组合

又称二项式系数。

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}={\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!}}$$

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下降幂

$$n^{\underset{―}{m}}=\prod _{i=n-m+1}^{n}i={\displaystyle \frac{n!}{(n-m)!}}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}m!$$

从组合意义上考虑，下降幂和排列数实际是一样的：在 $n$ 个东西里选出 $m$ 个东西的排列数。

《具体数学》中是通过和普通幂函数 $y=x^m$ 进行比较来引出下降幂的。具体地说，定义 $\text{D}f(x)$ 表示 $f(x)$ 的微分（即导数），$\mathrm{\Delta }f(x)$ 表示 $f(x)$ 的差分（即 $\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+1)-f(x)$）。那么 $y=x^m$ 有 $\text{D}y=m{x}^{m-1}$，$y=x^{\underset{―}{m}}$ 有 $\mathrm{\Delta }y=m{x}^{\underset{―}{m-1}}$，很相像。

此时 $a$ 的定义域可以达到整个实数域（甚至复数域，但我不清晰）。比如，$(-2{)}^{\underset{―}{3}}=(-2)\times (-3)\times (-4)=-24$，$(\frac{1}{2}{)}^{\underset{―}{2}}=\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$。

据下降幂定义的广义二项式系数：对于实数 $a$ 和非负整数 $n$，有：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n})}={\displaystyle \frac{a^{\underset{―}{n}}}{n!}}$$

有时候如果 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ 的 $n$ 很大而 $m$ 很小，可以转用下降幂计算。

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组合数基本公式

对称公式：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-m})}$$

加法公式：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m})}+{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})}$$

吸收公式（用于求和）：

$$m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}=n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})}$$

三项恒等式：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{c})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{c})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a-c}{b-c})}$$

组合意义：左边代表在 $a$ 个东西中选出 $b$ 个东西，再在 $b$ 个东西中选出 $c$ 个东西；右边代表在 $a$ 个东西中选出 $c$ 个东西，再在剩下的 $a-c$ 个东西中选出 $b-c$ 个东西。

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组合数求和

• 上指标求和：

$$\sum _{i=a}^b{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{a})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b+1}{a+1})}$$

代数推导：可使用数归法证明。

组合意义：右边代表在 $b+1$ 个东西中选出 $a+1$ 个东西；左边代表枚举第 $a+1$ 个东西。

• 平行求和：

$$\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a+i}{i})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a+n+1}{n})}$$

代数推导：运用对称公式可将平行求和转化为上指标求和。

组合意义：右边代表在 $a+n+1$ 个东西中选出 $n$ 个；左边代表枚举前 $n-i$ 个必选。

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二项式定理

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^i{b}^{n-i}$$

代入 $a=b=1$ 得：

$$\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}=2^n$$

• 广义二项式定理：对于任意实数 $x,y,n$，有

$$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{x}^i{y}^{n-i}$$

注意到如果 $n,a\in N^{\ast }$，则必定有 $a^{\underset{―}{n}}=0$ 即 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n})=0$。故不难理解在真正把 $n\in N^{\ast }$ 代入后二项式定理展开后，有很多为 $0$ 的项，最后得到的多项式都是有限的。

这个的证明在学了 泰勒级数 后是相当显然的。

• 下降幂的二项式定理：对于任意实数 $a,b$ 和非负整数 $n$，有

  $$(a+b{)}^{\underset{―}{n}}=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^{\underset{―}{i}}{b}^{\underset{―}{n-i}}$$

可使用数学归纳法求证。

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范德蒙德卷积

• 范德蒙德卷积恒等式：

$$\sum _{i=0}^a{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{a-i})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{a})}$$

组合意义：左边代表 $n$ 中和 $m$ 中一共选出 $a$ 个；右边代表直接在 $n+m$ 中选出 $a$ 个。

生成函数：令 $f(x)[x^m]$ 表示 $f(x)$ 中 $x^n$ 的系数，则等式左侧为 $(x+1{)}^n(x+1{)}^m[x^a]$，右侧为 $(x+1{)}^{n+m}[x^a]$。

• 上指标范德蒙德卷积恒等式：

$$\sum _{i=a}^{n-b}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{a})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{b})}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{a+b+1})}$$

组合意义：右边表示在 $n+1$ 个东西中选出 $a+b+1$ 个；左边表示枚举第 $a+1$ 个东西。

生成函数：等式右侧为 $(-x+1{)}^{a+b+2}[x^{n-a-b}]$，等式左侧为 $(-x+1{)}^{a+1}(-x+1{)}^{b+1}[x^{n-b-a}]$。（至于这个构造到底是怎么想到的，可能得等学了生成函数再回头看了。）

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Lucas 定理

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp})}\ast {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor })}(\mathrm{mod}p)$$

什么时候使用 Lucas 定理？$p$ 为质数且 $n,m\ge p$ 时。

• P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理

• P4345 [SHOI2015] 超能粒子炮·改：Lucas 定理常常结合数位 DP 或递归解决。

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隔板法

把一个有 $n$ 个不相同物品的序列分成可以为 $0$ 的 $m$ 段，方案数为：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})}$$

如果隔板法的每个间隔有下界（下界可以不同，但是第几个间隔的下界是多少必须固定），可以先把下界总数从 $n$ 中减去。

P5520 [yLOI2019] 青原樱：可将树看作隔板。

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环排列

$n$ 的长度，$m$ 种颜色。可以旋转，不能翻转。

$${\displaystyle \frac{m^n}{n}}$$

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多重集排列数

$${\displaystyle \frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n)!}{a_1!a_2!\dots a_n!}}$$

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错位排列

排列上每个位置的数和其下标的值都不一样。

$D_n$ 表示长度为 $n$ 的错位排列数量，则有：

$$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$$

思路主要是将数值 $n$ 先接到一个长度为 $n-1$ 的序列后，然后通过把最后一项与前 $n-1$ 个项中的一项交换得到错位排序。

P4921 [MtOI2018] 情侣？给我烧了！（头好晕，回头来看。）

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卡特兰数

$C_n$ 表示长度为 $2n$ 的合法括号序列数量。

递推式（枚举第一个括号对内部括号数量）：

$$C_n=\sum _{i=0}^{n-1}{C}_i{C}_{n-1-i}$$

组合数：

$$C_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$$

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第二类斯特林数

$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$ 为将 $n$ 个不同元素划分成 $m$ 个无标号非空集合的方案数。

$O(n^2)$ 递推：

$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=m\left\{\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}n-1\\ m-1\end{array}\right\}$$

普通幂转下降幂：

$$m^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{m}^{\underset{―}{i}}$$

组合意义：左侧为用 $m$ 种颜色给 $n$ 个物品上色；右侧为将 $n$ 个物品分为若干组，每个组涂同一种颜色。

• 例一：

  $$\sum _{i=0}^n{i}^k$$

  其中 $n\le {10}^9,k\le 5000$。

  使用第二类斯特林数将普通幂转为下降幂，再将下降幂转为组合数，使用上指标求和。

• 例二：P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

  这道题推式子有两点巧妙。一是通过调换 $\sum$ 顺序把下降幂与多项式系数分离，二是最后二项式定理容易瞪不出来。

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鸽巢原理

把 $n$ 个球放入 $k$ 个盒子中，则至少一个盒子里有 $\ge \lceil \frac{n}{k}\rceil$ 个球，至少有一个盒子里有 $\le \lfloor \frac{n}{k}\rfloor$。

• Kuroni and Impossible Calculation：这道题等价于将 $n$ 个球放入 $m$ 个盒子内。如果有 $n\ge m$，则必定存在一个盒子内有超过两个球，答案则必等于 0。其余情况即 $n<m$ 暴力即可。

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Prufer 序列

一个值域为 $[1,n]$，长度为 $n-2$ 的序列。它与一棵 $n$ 个节点的有标号树互为双射。

由树构造 Prufer 序列：每次选标号最小的叶子节点，删去，并记录它所相连的节点。直到只剩两个节点。可以用堆维护。

由 Prufer 序列构造树：每个点的度数为在 Prufer 序列中出现次数 $+1$，因此可以维护当前标号最小的叶子节点。

结论：$n$ 个点的不同有标号生成树数量：

$$n^{n-2}$$

一些树的组合计数问题可以转化为 Prufer 序列的组合计数问题求解。

• 例一：

  

  

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Burnside 定理

置换群学习笔记

P4128 [SHOI2006] 有色图

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基本容斥

“当我们需要计算不满足条件 $A$ 的方案数时，有时会选择正难则反，用总方案数减去满足条件 $A$ 的方案数来得到答案。”

显然 $S$ 是 $2^n$ 级别的。因此，使用容斥原理时的 $n$ 一般来说都比较小，或者说可以通过组合数合并某些情况。

• P1450 [HAOI2008] 硬币购物：限制是每种硬币的个数，用硬币使用没有任何限制的方案数用容斥减去有硬币超过的。

• 再谈错排：限制是值和下标不相等。

• Another Filling the Grid：部分直接使用限制条件，其余限制使用容斥。

• 求 $n$ 个点的有标号 DAG 个数，其中 $n\le 5000$：并没有听懂。

• P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭：此题的引入部分用到一点容斥，即计算每种菜品超过一半的方案数，而又因为只可能同时有一种菜品超过一半，计算并不为 $2^n$ 级别。真正巧妙之处在 DP 方程剔除无关状态。

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$min-max$ 容斥

（感觉上面的证明有点问题，应该只有在 $a_i$ 互不相等的情况下才能这么推吧？）

如果我们要通过 $min$ 求 $max$，也一样有：

$$\underset{i\in S}{max}{a}_i=\sum _{T\subset S,T\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{|T|+1}\underset{i\in T}{min}{a}_i$$

• P5643 [PKUWC2018] 随机游走：这道题的用 $min-max$ 容斥转为正常期望 dp 后，时间复杂度为 $O(2^{n}nq)$。如果想要让时间复杂度更低，需要使用高维前缀和（在 这篇博客 中阐释得还清楚，它尤其在求二进制子集的和时使用）。

• Become Big For Me

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二项式反演

主要用于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 之间的互化。题目一般要求 $g(x)$，而 $f(x)$ 是一个人为构造的、比较好求的函数。

更具体地说，二项式反演的题目中 $g(x)$ 一般是“恰好”的方案数，$f(x)$ 一般是构造为“钦定”某组元素必选、然后求方案数。二者之间满足的反演关系证明如下（这是以下面集合计数一题为例的，下文的 $\text{intersect}(C)$ 表示 $C$ 方案中交集的大小）：

• 集合计数：我觉得一大难点在看出来所谓 $f(k)$，即“钦定了 $k$ 个元素在交集里的方案数”是很好求的（这是一个任选若干集合的问题）；另一大是在推导 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的关系时。

• P4859 已经没有什么好害怕的了：这个和上一道题是一样的构造方法。

• Stranger Trees

• 扩展 $min-max$ 容斥：通过二项式反演给每个 $max$ 添上系数，扩展到第 $k$ 小的 $min-max$ 容斥。

  

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普通生成函数（OGF）

生成函数是一个很美妙的东西。它在代数与组合数学之间建立了联系，并且将一些复杂的组合问题巧妙地化为了代数问题。

这是生成函数的一种，被称为 OGF（普通生成函数）。

根据定义可以发现，序列相加则对应生成函数相加，序列做数乘则对应生成函数做数乘。换句话说，如果我们定义一个以序列为参数、以其生成函数为返回值的函数，那么该函数将会是一个线性函数。然而，生成函数相乘将遵循多项式乘法的规则，这时生成函数相乘就不等同于序列对应项相乘了。

当该多项式存在无穷项时，我们也可以称其为形式幂级数环。虽说是无穷项，但其实很多的形式幂级数环都可以通过相减法、微积分等方法化为封闭形式。很美妙不是么——看上去无穷的函数其实可以那么简洁地表示出来。

• 例一：等比数列

  等比数列的形式幂级数环为：$f(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{c}^i{x}^i$，而 $cxf(x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^i{x}^i$，二者相减得到 $(cx-1)f(x)=1$，故而 $f(x)=\frac{1}{cx-1}$。

  
  （图例：数列 $1,1,1,\dots$ 的生成函数和它的封闭形式）

• 例二：斐波那契数列

  斐波那契数列的形式幂级数环为：$F(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i$。在等式 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ 两侧乘上 $x^i$、并对该方程求和，则有 $\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{x}^i=\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_{i-1}{x}^i+\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{f}_{i-2}{x}^i$，等同于 $F(x)-x=xF(x)+x^{2}F(x)$，于是可得：$F(x)=\frac{x}{-x^2-x+1}$。

• 例三：差为 $1$ 的等差数列

  该数列的形式幂级数环为：$f(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}i{x}^i$。在等式 $a_i=a_{i-1}+1$ 两侧乘上 $x^i$，并……（后面和斐波那契的做法是一样的）……最终得到 $f(x)=\frac{-x^2+x+1}{x^2-2x+1}$。

以下是一些常见数列（形式幂级数）的封闭形式：

（其中后三个的证明都需要用到 泰勒展开 或广义二项式定理）

那么把一个形式幂级数环大费周章化为封闭形式有什么用呢？举个例子，在一个题目中，你想要求一些形式幂级数环的卷积的通项公式。你就可以先求得这些形式幂级数环的封闭形式，然后用它们的封闭形式相乘，得到它们卷积的封闭形式。接着，你就可以将这个卷积的封闭形式拆分为若干较为简单的函数之和。由于你知道这些简单函数所对应的形式幂级数环是什么，你就可以得到这个卷积的形式幂级数环，也就得到了卷积对应序列通项公式。卡特兰数的通项公式就是这么得到的。

生成函数的一大用处是刻画组合问题。一般来说，我们把一些个数限制刻画为函数中 $x$ 的上标，方案数刻画为 $x$ 的系数，然后通过多项式相乘来实现在每组内选一个，并且答案为某一项的系数。

• 例一：

  

  

• 例二：

  （背包问题）：有 $n$ 种物品，第 $i$ 种物品有 $c_i$ 个，每个代价为 $w_i$ 元。求花了 $m$ 元的方案数。

  这个的生成函数应该是 $\prod _{i=1}^n\sum _{j=0}^{c_i}{x}^{j{w}_i}$，答案为 $[x^m]$。

  与前一个问题不同的地方在于，背包问题是一种中仅能选一个，所以我们选择将同一种物品的不同次幂归在一个括号内；而前一个问题则是若干种都能选任意次，因此将每个种归在一个括号内，求同一个括号的次幂即可。

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指数生成函数（EGF）

指数生成函数又称 EGF。与前面提到的 OGF 是相对的。

《具体数学》是这么解释引入 EGF 的原因的：当原数列 $a_i$ 的 OGF 相当复杂，而 $\frac{a_i}{i!}$ 的 EGF 相当简单时，我们将更情愿研究它的 EGF。

• $a_i=c^i$：这个对 $x$ 进行一个换元为 $cx$，再根据 $b_i=\frac{1}{i!}$ 的封闭形式为 $e^x$，就可以相当容易地证得。

• $a_i=c^{\underset{―}{i}}$：它的 EGF 显然为一个二项式定理的展开形式。

• $a_i=[imod2=0]$：因为生成函数的加法等同于对应序列的加法，这里可以看作将 $imod2=1$ 的项减去了。

EGF 主要用于刻画若干种数的排列问题。详见排列组合一题。

• 排列组合

  

  

  这道题揭示了用 EGF 刻画的本质：将组合数进行拆解，即可将 OGF 转化为 EGF。答案则通过乘上 $n!$ 将 EGF 还原为 OGF。

• 例二：

  

  列出绿色、红色、蓝色的 EGF，将这三个 EGF 相乘，得到答案的 EGF，即可得到答案的通项公式。

• 再谈二项式反演：

  

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多项式 exp / 多项式 ln

• 多项式 exp

  

  “良定义”即能在有限的求和内求出每一项的值，尽管原本的式子是个无限求和。

  为什么一定要在 $F(x)[x^0]=0$ 的条件下呢？当 $F(x)[x^0]=0$ 时，最低的次项为 $x^1$；此时如果你想要拼凑出次数为 $n$ 的项，在每一次都选 $x^1$ 的情况下，你最多仅能选 $n$ 次，即有效的 $i<n$；反之，当 $i\ge n$ 时，就绝对拼凑不出 $x^n$ 项。而当 $F(x)[x^0]\ne 0$ 时，由于能够选到 $x^0$，$i\ge n$ 也就可以拼凑出 $x^n$，这个运算也就不良定义了。

• 多项式 ln

  

  至于怎么证明 $\ln (x+1)$ 的形式幂级数环是这个，需要用到 微积分。

说来这两个东西本身有什么用呢？我们可以考虑 $\frac{F(x{)}^i}{i!}$ 的组合意义：在若干组物品中，每组有 $f_i$ 个，在可以重复选一个物品的情况下选出 $i$ 个的方案数。则 $e^{F(x)}$ 的组合意义为：在若干组物品中，每组有 $f_i$ 个，在可以重复选一个物品的情况下，选出任意个的方案数。

组合意义是钉死了的。所以这么看来多项式 exp / 多项式 ln 的应用范围是比较狭窄的。

• P4841 [集训队作业2013] 城市规划：令 $f_n$ 表示 $n$ 个点的简单有标号无向连通图的数目，$g_n$ 表示 $n$ 个点的简单有标号无向图的数目。由上面的推导，容易证明：$G=e^F$，于是直接用多项式 $\ln$ 计算 $F$ 即可。

• 多项式 exp / 多项式 ln 的 $O(n\log n)$ 计算方法：见 多项式乘法（FFT）学习笔记

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点值表示与下降幂表示

用人话阐释一遍这个定理：对于一个多项式，它的点值表示的 EGF，与它的下降幂表示的生成函数，满足一个类似前面二项式反演的关系。

这玩意儿只能说是相当的怪异。但它提供了一种在点值表示和下降幂表示之间互化的思路。

• Similar Polynomials

  首先如果我们已经有了这两个多项式的系数，我们就可以通过二项式定理得到某一个 $x_i$ 的系数的方程，很容易求解 $s$。

  然后因为下降幂也有二项式定理，我们只需要套前面的式子，求出下降幂表示就行了。