置换群学习笔记

一、基本概念

在数学中，群（group）是由一个集合 $G$ ，以及一个在 $G$ 所有元素上进行的二元运算 $\cdot$ ，符合「群公理」的代数结构，记作 $(G, \cdot)$ 。

群公理包含下述四个性质：

而子群的定义则为：群 $(G, \cdot)$ , $(H, \cdot)$ ，满足 $H \subseteq G$ ，则 $(H, \cdot)$ 是 $(G, \cdot)$ 的子群。

映射：两个序列间的元素的对应关系。
置换：一个序列到自身的一种映射。对序列 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 进行一次置换 $f$ ，可得到： $S^{'} = {a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}}}$ ，其中 $p_{1}, p_{2}, \dots p_{n}$ 为 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列。该置换 $f$ 记作：

f = (\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \\ a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}} \end{matrix})

（Attention：我们定义 $p_{1}, p_{2}, \dots p_{n}$ 互不相同；但是 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}$ 可以相同，因为我们是在序列而非集合上定义的该变换。）

不变元：如果对于置换 $f = (\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \\ a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}} \end{matrix})$ ，有一种合法的排列使得所有 $a_{x} = a_{p_{x}}$ ，那么称这种排列为置换 $f$ 的不变元。记 $f$ 的不变元的数量为 $λ (f)$ 。(注意这个，在 Burnside 定理中要用到！)
置换乘法：对于两个置换 $f, g$ ，它们的乘法记作 $f \circ g$ 。其实就是先在 $S$ 上进行 $f$ 的映射，再进行 $g$ 的映射。
形式化地表示，对于 $f = (\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \\ a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}} \end{matrix})$ 和 $g = (\begin{matrix} a_{p_{1}}, a_{p_{2}}, \dots, a_{p_{n}} \\ a_{q_{1}}, a_{q_{2}}, \dots, a_{q_{n}} \end{matrix})$ ，有：

f \circ g = (\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \\ a_{q_{1}}, a_{q_{2}}, \dots, a_{q_{n}} \end{matrix})

置换群：对于序列 $S$ 它上面所有的置换，它们间的乘法满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元，因此这些置换和 置换乘法 构成一个群。这个群的任意一个子群被称为 置换群。

Burnside 定理试图在解决一些带有旋转、对称去重的组合问题。而这些旋转、对称的变化过程正可以看作置换。例如用三种颜色的珠子串成一条环形项链的方案数，这和线性的排列问题就不一样，有可能通过旋转、对称出现重复。

我们现在要求的就是不同的轨道的数量。根据 Burnside 定理，不同轨道数量为：

\frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} λ (g)

证明需要用到群论知识，作者太菜了就先略过了 qwq。

没太明白也不用慌。看看下面几个练习（来自白书）。

本题的特征是每个数字都不同，圆可以旋转但不能翻转。可以发现，一共有 $n$ 个置换，分别为旋转 $0, 1, 2, \dots, n - 1$ 次。容易得到旋转 $0$ 次是唯一一个存在不变元的置换。因此有答案：

\frac{1}{n} (n! + 0 + \dots + 0) = (n - 1)!

本题的特征是每种颜色都不同，可以旋转也可以翻转，因此共有 $2 n$ 个置换。容易得到旋转且翻转 $0$ 次是唯一一个存在不变元的置换。因此有答案：

\frac{1}{2 n} (n! + 0 + \dots + 0) = \frac{(n - 1)!}{2}

本题的特征是只能用两种颜色，可以旋转也可以翻转。一共有 10 种置换，分为两类：只旋转、既旋转又翻转。

只旋转：旋转 $0^{\circ}$ ，显然有 $2^{5} = 32$ 种不变元；其余 $4$ 个旋转角度只有全都涂红色、全都涂蓝色两种不变元。
既旋转又翻转：对于所有旋转角度，让顶点选一种颜色，让 $2, 5$ 两个位置选同一种颜色，让 $3, 4$ 两个位置选同一种颜色，共有 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 个不变元。