置换群学习笔记

一、基本概念

  1. 群

在数学中，群（group）是由一个集合 \(G\)，以及一个在 \(G\) 所有元素上进行的二元运算 \(\cdot\)，符合「群公理」的代数结构，记作 \((G, \cdot)\)。

群公理包含下述四个性质：

  • 满足封闭性。

  • 满足结合律。

  • 存在单位元（也称幺元）。

  • 存在逆元。

而 子群 的定义则为：群 \((G,\cdot)\), \((H,\cdot)\)，满足 \(H\subseteq G\)，则 \((H,\cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的子群。

  1. 置换

  • 映射：两个序列间的元素的对应关系。

  • 置换：一个序列到自身的一种映射。对序列 \(S = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 进行一次置换 \(f\)，可得到：\(S' = \{a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\}\)，其中 \(p_1, p_2, \dots p_n\) 为 \(1, 2, \dots, n\) 的一个排列。该置换 \(f\) 记作：

\[f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmatrix} \]

（Attention：我们定义 \(p_1, p_2, \dots p_n\) 互不相同；但是 \(a_1, a_2, \dots a_n\) 可以相同，因为我们是在 序列 而非 集合 上定义的该变换。）

  • 不变元：如果对于置换 \(f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\end{pmatrix}\)，有一种合法的 排列 使得所有 \(a_x = a_{p_x}\)，那么称这种排列为置换 \(f\) 的不变元。记 \(f\) 的不变元的数量为 \(\lambda(f)\)。(注意这个，在 Burnside 定理中要用到！)

  • 置换乘法：对于两个置换 \(f, g\)，它们的乘法记作 \(f \circ g\)。其实就是先在 \(S\) 上进行 \(f\) 的映射，再进行 \(g\) 的映射。
    形式化地表示，对于 \(f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\end{pmatrix}\) 和 \(g=\begin{pmatrix}a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\)，有：

\[f \circ g = \begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}\end{pmatrix}\]

  • 置换群：对于序列 \(S\) 它上面所有的置换，它们间的乘法满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元，因此这些 置换 和 置换乘法 构成一个群。这个群的任意一个子群被称为 置换群。

二、Burnside 定理

Burnside 定理试图在解决一些带有旋转、对称 去重 的组合问题。而这些旋转、对称的变化过程正可以看作 置换。例如用三种颜色的珠子串成一条环形项链的方案数，这和线性的排列问题就不一样，有可能通过旋转、对称出现重复。

  • 现有一个原序列 \(S\)，它有若干元素，每个元素都有一个可能的取值。因此 \(S\) 有很多种可能的排列。

  • 给定所有的置换，它们的集合为 \(G\)，则称 \((G, \circ)\) 为 \(S\) 上的置换群。

  • 如果 \(S\) 的一个排列通过 \(G\) 中的一个置换可以达到另一种不同的排列，则说明这两种排列是 等价 的。称若干种等价的排列属于一个 轨道。

我们现在要求的就是不同的轨道的数量。根据 Burnside 定理，不同轨道数量为：

\[\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\lambda(g) \]

证明需要用到群论知识，作者太菜了就先略过了 qwq。

没太明白也不用慌。看看下面几个练习（来自白书）。

  1. 把 \(1 \sim n\) 放在一个圆上，有多少种放法？

本题的特征是每个数字都不同，圆可以旋转但不能翻转。可以发现，一共有 \(n\) 个置换，分别为旋转 \(0, 1, 2, \dots, n-1\) 次。容易得到旋转 \(0\) 次是唯一一个存在不变元的置换。因此有答案：

\[\frac{1}{n}(n!+0+\dots+0) = (n-1)! \]

  1. 用 \(n\) 个不同颜色的珠子串成一串项链，有多少种方法？

本题的特征是每种颜色都不同，可以旋转也可以翻转，因此共有 \(2n\) 个置换。容易得到旋转且翻转 \(0\) 次是唯一一个存在不变元的置换。因此有答案：

\[\frac{1}{2n}(n!+0+\dots+0) = \dfrac{(n-1)!}{2} \]

  1. 用两种颜色对正五边形上色，有多少种方法？

本题的特征是只能用两种颜色，可以旋转也可以翻转。一共有 10 种置换，分为两类：只旋转、既旋转又翻转。

  • 只旋转：旋转 \(0^\circ\)，显然有 \(2^5 = 32\) 种不变元；其余 \(4\) 个旋转角度只有全都涂红色、全都涂蓝色两种不变元。

  • 既旋转又翻转：对于所有旋转角度，让顶点选一种颜色，让 \(2, 5\) 两个位置选同一种颜色，让 \(3, 4\) 两个位置选同一种颜色，共有 \(2 \times 2 \times 2 = 8\) 个不变元。

因此最终答案为：

\[\frac{1}{10}(32 + 2 \times 4 + 8 \times 5) = 8 \]

  1. P1446 [HNOI2008] Cards

《算法竞赛》这本书是不是拿脚编的啊，这里又给了一个错解……

题目已经把置换都给出了。现在的问题仅是求出每一种置换的 \(\lambda\)。我们可以通过并查集求出必须选相同颜色的牌有哪些，然后再用背包求解出不动点的数量。时间复杂度为 \(O(ms^3)\)。

三、Pólya 定理

  1. 循环

如果置换 \(f\) 可记作：

\[f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\a_n,a_1,\dots,a_{n-1}\end{pmatrix} \]

那么称 \(f\) 为一个循环置换。

显然，任意一个置换可拆为若干不相交的循环置换。因为若将置换的映射关系抽象为一张图，那么每个点都有一条出边和一条入边，一个置换就一定是若干环的集合。

定义 \(c(f)\) 为置换 \(f\) 可拆为的循环置换个数。

Pólya 定理实际是 Burnside 定理的一种特殊情况。

如果给定序列一定满足：有 \(n\) 个元素，每个元素有 \(m\) 种取值时，可以得到不同轨道个数：

\[\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} m^{c(g)} \]

证明：如果对于置换 \(f\)，当前排列是一个不变元，那么对于一个循环，它其中的元素必须选择同样的取值。那么根据乘法原理，上式显然。

posted @ 2024-04-22 15:39  David_Mercury  阅读(89)  评论(0)  编辑  收藏  举报