P4211 [LNOI2014] LCA 题解
切入这道题，首先要思考所有 LCA 的分布特征。显然，对于任意 \(\text{LCA}(i, j)\)，都满足 LCA 是 \(i, j\) 的祖先。那么对于一个询问，可以找到所有 \(i \in [l, r]\) 的祖先，还可以找所有 \(z\) 的祖先。明显，找 \(z\) 的祖先会方便很多：它们都分布在 \(z\) 到根节点的那条链上，这应该会更方便统计，可以用 LCT、树链剖分之类的算法。所以我们从 \(z\) 的祖先着手切入。
先研究任意一个 \(z\) 的祖先 \(x\)，试着求出它作为 LCA 时对答案的贡献。
明显，当研究 \(x\) 这棵树时，和 \(z\) 不在一棵子树中的所有节点 \(i\)，都满足 \(\text{LCA}(i, z) = x\)。（可能说得比较模糊，反正就是图中 1, 6 节点可以和 \(z\) 有 LCA = x，而节点 3, 5 则不行。）
设 \(x\) 子树中所有节点，满足编号在 \([l, r]\) 间，数量 \(sz(x)\)；并且令 \(z\) 在的那棵子树为 \(Z\)。则易得 \(x\) 对答案的贡献为：\(dep(x)*[sz(x)-sz(Z)]\)。
然后，为了快速统计 \(sz(x)\)，我当时想出了一个算法：可持久化线段树。可持久化线段树中以每个点的编号为下标。
然而，这个算法仅能对 \(z\) 的祖先们进行逐个计算，而不能实现最终的目的：拓展到链的整体操作上。
于是想：能不能把可持久化线段树去掉？想到离线 + 差分。
把每一个询问拆开，拆成 \(r, z\) 和 \(l-1, z\)，
