进阶图论学习笔记

零、杂项

P2323 [HNOI2006] 公路修建问题：这里在分析贪心问题时使用了先取满限制条件再试着替换优化的“倒推法”，觉得很妙。
P2491 [SDOI2011] 消防：蓝书上原题，可以利用树的直径的性质，优化极简的 \(O(n)\)。（感觉我可以做一个树的直径与树上贪心的专题。。。）

二、2-SAT

基础内容

P6378 [PA2010] Riddle：通过建立新点，据传递性，优化了建边数量。
P3825 [NOI2017] 游戏：搜索 + 2-SAT

三、最小树形图

1. 朱刘算法

reference

算法的核心思想：尝试使用 DAG 的方式贪心。如果贪出环了，就使用 反悔贪心 的方法把环 缩为一个点，迭代执行直到图上不存在环。

时间复杂度：\(O(nm)\)

算法流程：

事实证明如果还不能独立写出这个算法，只能说步骤总结得不够详细！

输入，按照 边集数组 的方式存储图。
开始迭代：
- 初始化。
- 为每一个点找到最小入边。注意根不应有最小入边，还应注意此处的边是否在同一 scc 内（即自环）。
- 将每一条新入边加入答案。如果此时发现有除了根以外的点没有入边，则无解。
- 找环（相当于在 内向基环树 上找环）：
  - 每次从一个点开始沿着边走，标记走到的点，直到找到被标记过的点或者走到根。
  - 如果当前被标记过的点为从不同点出发标记的，跳过。
  - 否则说明我们找到了一个新环。建立一个新的 scc，再走一遍环，将所有点加入。
- 如果这一步没有找到任何环，说明贪心成功，可以终止迭代输出答案了。
- 否则我们还需要缩点。先对所有不在环内的点也建立 scc。 然后对于每一条边，将其边权修改为与环内边权之差。

（总之就是当心一下根的特判，其余细节其实不多。）

例题：

2. Tarjan

以后我实在闲着没事再来学这个。。。

四、网络流

link

五、二分图

~~下面内容全部都是从蓝书抄的~~

1. 定义

一张无向图的 \(n\) 个节点可以分成 \(A, B\) 两个非空集合，且同一集合内的点之间都没有边相连，那么称其为二分图，\(A, B\) 分别成为二分图的左部和右部。

2. 二分图判定

用 DFS 染色法。将第一个点染为黑色，并将其相邻的点染为白色；往下递归，将每个点相邻的点染为相反的颜色，如果矛盾说明不是二分图。

P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯：二分 + 二分图判定

3. 二分图最大匹配

算法

匈牙利算法：核心在寻找匹配边、非匹配边交错出现的“增广路”。时间复杂度 \(O(nm)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 505, MAXM = 5e4+5;
int n, m, e, head[MAXN], mth[MAXN];
bool vst[MAXN];
//head 仅用来标记左部点：右部点不需要进行尝试，只需要找到 match 的对象即可
//vst, mth 仅用来标记右部点：对于任意左部点，只要对应的右部点没有 match，则一定没访问

struct node{
	int to, nxt;
} edge[MAXM];

inline void Add_edge(int i, int from, int to){
	edge[i].to = to;
	edge[i].nxt = head[from];
	head[from] = i;
	return;
}

inline bool DFS(int x){
	for(int i = head[x]; i; i = edge[i].nxt){
		int to = edge[i].to;
		if(vst[to])	continue;
		vst[to] = true;
		if(!mth[to] or DFS(mth[to]))	{mth[to] = x; return true;}
	}
	return false;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
	for(int i = 1; i <= e; i++){
		int ui, vi;	scanf("%d%d", &ui, &vi);
		Add_edge(i, ui, vi);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		memset(vst, false, sizeof(vst));
		if(DFS(i))	++ans;
	}
	cout<<ans;
	
	return 0;
}

网络最大流：见此，复杂度可以做到 \(O(m \sqrt{n})\)，但好像专门卡匈牙利放这个的题目并不多。

建模要素
- 0 要素：节点可分为独立的两个集合，每个集合内部有 0 条边。
- 1 要素：每个节点只能和 1 条匹配边相连。
题目
- 棋盘覆盖：以格子为节点，以黑/白格子为两个集合，以邻线为边。
- 车的放置：以行/列为两个集合，以格子为边。

4. 二分图最大多重匹配

两种主要解决方案：

拆点。这也是图论问题中的常见转化方法。复杂度 \(O(nwm)\)（\(w\) 系最多拆为几个点）。
网络最大流。复杂度 \(O(n^2m)\)。

导弹防御塔：二分答案 + 拆点 + 二分图最大匹配。
P3254 圆桌问题

5. 二分图带权匹配

即权值和最大/小的一组二分图最大匹配。【注意：一定得先为最大匹配。】

两种主要解决方案：

KM 算法。只能用于最大匹配为 完备匹配 时。时间复杂度 \(O(n^2m)\)，用 BFS 优化后可以达到 \(O(nm)\)。

这个算法的关键科技在“顶标”的设计：每个节点都有一个“顶标”，并且对于一条边 \((i, j)\)，我们始终维护其满足 \(v(i)+v(j) \ge w(i, j)\)。主要框架还是和匈牙利差不多。至于优化就是把匈牙利改成 BFS 写法即可。