线段树合并与分裂

合并 的时间复杂度证明

——引自《算法竞赛进阶指南》

一开始有 $m$ 棵树，只有一个位置有权值，所以一棵树上结点数量为 $O(\log n)$，$m$ 棵树的结点总数也就是 $O(m\log n)$。

分析上面的代码，发现每一次进入 merge 函数，要么停止递归，要么继续递归并有一个点被垃圾回收。显然停止递归的 merge 次数与继续递归的 merge 次数同阶（不继续递归的情况是从递归的情况出来的，不会超过其两倍的数量）。

因此整个过程的复杂度就等于继续递归的 merge 函数进入次数的复杂度（每一次执行 merge 在不考虑递归时复杂度 $O(1)$），也就等同于被删除的结点个数，是不超过 $O(m\log n)$ 的（有点像势能分析？）。

注意复杂度本身和是否回收结点没有关系，只是借以分析而已。

所以整个过程的复杂度也就是 $O(m\log n)$。

——引自 @ix35 的博客

有分裂操作的时间复杂度：每次分裂至多增加 $\log n$ 个节点，故此最多存在 $2m\log n$ 个节点，同理可均摊得时间复杂度。

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本质

线段树的合并与分裂多半是在权值线段树合并上进行的。因此，合并与分裂在题目当中，大多是用来 快速合并、分裂若干有序序列的。

反比同样支持合并操作的 FHQ_Treap，它只能合并大小关系绝对确定的两棵树。

比如，序列 1,3,5,7 和 2,4,6,8 合并时，线段树合并得到的结果是 1,2,3,4,5,6,7,8，而 FHQ_Treap 得到的结果为 1,3,5,7,2,4,6,8。

• P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

• P5494 【模板】线段树分裂

• P2824 [HEOI2016/TJOI2016] 排序：把每个有序块都看作一棵线段树，时间复杂度容易用势能分析证明。这道题正完美体现了上面所提“快速合并、分裂若干有序序列”。另外，这道题的另一种二分答案做法，告诉我们：二分答案的单调性并不一定很明显，有的时候要敢于进行尝试。