jry 线段树学习笔记

一些有用的资料

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区间最值操作 的 时间复杂度证明

首先规定整棵线段树被称为 $T$，$|T|=n$（线段树大小为 $n$）。

接着定义函数 $f(x)$ 为树节点 $x$ 中不同数的数量，易证明上限为 $|x|$，下限为 $1$。

定义函数 $\mathrm{\Phi }(T)=\sum _{x\subseteq T}f(x)$，易证明上限为 $|T|\log |T|$，下限为 $|T|$。

我们再定义一个概念：对于一个线段树节点，如果它对应的区间包含于操作区间 $[l,r]$，且它的祖先不包含于 $[l,r]$ 那么称其为 “线段树节点区间” 。其实我说的就是普通线段树操作递归结束的那个节点。

以下证明正式开始：

首先对于操作区间 $[l,r]$，我们第一步是将其划分为若干个“线段树节点区间”。这一步骤最多使线段树的 $\mathrm{\Phi }(T)$ 增加 ${\log }_{2}n$，即“线段树节点区间”数量。$m$ 个操作累加起来 $\mathrm{\Phi }(T)$ 的增大总量最多为 $m\log n$，请读者留意这一概念。

可能有人会疑惑，不是 $\mathrm{\Phi }(T)$ 的上限为 $n\log n$ 吗，万一增出限制怎么办？但，不是在找到了包含于 $[l,r]$ 的“线段树节点区间”后，我们还有可能往下面子节点递归吗？接下来递归的过程中，就不可能使 $\mathrm{\Phi }(T)$ 增长了，只可能使其减少。

对于当前递归到的节点 $x$，可分为两类：

1. 递归停止，即 $m{x}_x\le v$ 或 $s{e}_x<v<m{x}_x$。此种情况，$f(x)$ 不作变化。

2. 递归继续，即 $s{e}_x\ge v$。此种情况，$f(x)$ 必然至少减小 $1$（$s{e}_x$ 和 $m{x}_x$ 都被置为了 $v$）。

显然情况 $1.$ 的数量级与情况 $2.$ 是一样的，没必要太考虑它造成的时间复杂度代价。而又显然，$f(x)$ 的减少会导致 $\mathrm{\Phi }(T)$ 的变化，时间复杂度明显与 $\mathrm{\Phi }(T)$ 有关系。所以总时间复杂度代价不会超过 “$\mathrm{\Phi }(T{)}_{max}+$ 其增大总量”，即 $O((n+m)\log n)$。

证毕。

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对于 $se$ 作用的理解

一方面，$se$ 可看作维护 $mx$ 在与 $v$ 取 $min$ 后，是否仍为 $mx$ 的准绳。即所谓“将值域分为‘最大值’与‘非最大值’”处理。

另一方面，$se$ 可看作值域大小（即 $f(x)$）是否改变的标杆。背后的底层逻辑可能是，因为值域的变化在某种意义上是 “单调”“可控” 的，所以我们要尽量不重复访问相同值域，使得时间复杂度与值域有关联。

算了，越说越玄。

感觉 jry 在想到这个 idea 的时候单纯是为了方便打懒标记，然后发现出来的算法复杂度恰好正确。

教练语：$se$，包括后面区间历史最值中引入的 4 个 $tag$，都运用了一种值得学习的，将线段树内的树分为两种处理的分治思想。

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为什么不直接使用 $f(x)$ 作为势函数？

势函数即用来得到时间复杂度的一个辅助函数，如刚刚的 $\mathrm{\Phi }(T)$。

因为在从“线段树区间节点”继续向下递归的过程中，我们不能保证 $f(T)$ 随着遍历节点数（算法运行时间）增加而递减，而只能保证 $\sum f(x)=\mathrm{\Phi }(T)$ 的单调。

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带加减操作 的 时间复杂度证明

不会。

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区间历史最值 为什么一定要将 $min$ 操作转化为 $add$ 操作

若不这么转化的话，就需要开两个 $tag$：$ta{g}_{min}$ 与 $ta{g}_{add}$。并假定：下传懒标记时先下传 $ta{g}_{add}$。

此时，将一个节点的 $mx$ 变为 $min(mx,k)$，那么 $tag$ 的变化为：$ta{g}_{min}=min(ta{g}_{min},k),ta{g}_{add}=ta{g}_{add}$；而将 $mx$ 变为 $mx+k$，$tag$ 的变化为：$ta{g}_{min}=ta{g}_{min}+k,ta{g}_{add}=ta{g}_{add}+k$。这在没有 $opt=5$ 的情况下是正确的，请自行模拟。

但是 $opt=5$ 时就不一样了。这个操作要求我们必须明确知晓哪些值是真正可能取到的，这意味着必须确定 $min$ 操作与 $add$ 操作的先后顺序，而不是用上述的方法巧妙转化。

举个例子，该节点先与 $x$ 取 $min$，再加上了 $y$，我们通过上述办法转化为 $min(mx,x)+y=min(mx+y,x+y)$。但是，你怎么知道这是不是该节点先加上 $y$，再与 $x+y$ 取 $min$？这两种理解方式的区别就在于：$mx+y$ 是否为一个能被取到的值。这可能会导致区间历史最值的误判。

所以，将两种操作转化为一种操作，就不会有顺序问题了。

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关于实现

主要是要维护四个懒标记。

struct SegmentTree{
	int l, r;
	ll sum, mx, se, cnt, mxb, addam, addas, addbm, addbs;//开 ll 原因：se 可能要炸 
	#define l(x)		tree[x].l
	#define r(x)		tree[x].r
	#define mx(x)		tree[x].mx
	#define se(x)		tree[x].se
	#define cnt(x)		tree[x].cnt//最大值的数量 
	#define sum(x)		tree[x].sum
	#define mxb(x)		tree[x].mxb
	#define len(x)		(r(pt)-l(pt)+1)
	#define addam(x)	tree[x].addam//作用于最大值的加减标记 
	#define addas(x)	tree[x].addas//作用于其它数的加减标记 
	#define addbm(x)	tree[x].addbm//最大值加减标记的历史最大值 
	#define addbs(x)	tree[x].addbs//其它数加减标记的历史最大值
	//为什么要维护其它数加减标记的历史最大值？
	//因为若不这么做，假设左区间的最大值为当前区间的最大值，而右区间的最大值不是
	//那么左区间可以正常更新 mxb，而右区间则无法更新到正确的 mxb 
} tree[MAXN*4];