题解 SP1815 【WA - Problems Collection (Volume X)】

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分析

子任务 1

$$75465$$

子任务 2

我也不会做，但我个人认为为

$$20^3\cdot\binom{93}{3}+20^2\times 27\cdot\binom{93}{2}\cdot\binom{7}{1}+20\times 27^2\cdot\binom{93}{1}\cdot\binom{7}{2}+27^3\cdot\binom{7}{3}=1390708445$$

构造：$a_i$ 中有 $93$ 个 $20$，$7$ 个 $21$。

子任务 3

我们构造函数

$$f(x)= \begin{cases} x\cdot10^{3\cdot(500-x)}&,x\ne 500\\ 500&,x=500 \end{cases}$$

则，我们利用程序求

$$\sum_{i=100}^{500}[f(i)\operatorname{mod}126]$$

即可。结果为

$$6$$

子任务 4

我们先了解以下“几何级数”是什么。

几何级数是数学类名词，表示等比数列的前 $n$ 项和，又称为等比级数。
——百度百科

那就好办了。等比数列有一个性质：

$s_n,s_{2n}-s_n,\cdots,s_{kn}-s_{(k-1)n}$ 为等比数列，公比为 $q^n$（其中 $q$ 为 $\{a_n\}$ 的公比）

所以我们有 $s_7,s_{14}-s_7$ 为等比数列，公比为 $q^7$。

这里公比为 $\dfrac{2014-7}{7}=\dfrac{2007}{7}$，我们稍微计算一下：

$$s_{21}-s_{14} = \dfrac{2007}{7}(s_{14}-s_7)=\dfrac{4028049}{7}$$

然后乘上了 $s_7=7$，故答案为

$$4028049$$

子任务 5

假设 $n\in\mathcal{S}$，那么 $n!=\prod_{i=m}^{m+n-4}i$。我们注意到“$m+n-4$”中有 $-4$，不妨以 $4$ 为分界线进行讨论。

当 $m\leqslant 4$ 时，此时

$$\prod_{i=m}^{m+n-4}i\leqslant \prod_{i=4}^{4+n-4}i=\dfrac{n!}{3!}<n!$$

故 $m>4$，即 $m\geqslant 5$。

当 $m=5$ 时，解方程

$$\begin{aligned} n!&=\dfrac{(n+1)!}{4!}\\ 1&=\dfrac{n+1}{4!}\\ n+1&=24 \end{aligned}$$

解得 $n=23$。

当 $m>5$，即 $m\geqslant 6$ 时，考虑 $4!$，可以。考虑 $5!$，不可以表示成 $2$ 个正整数的乘积。所以 $\prod_{i=m}^{m+n-4}i$ 至少有 $3$ 个因子。

显然，我们有

$$\prod_{i=m}^{m+n-6}i\geqslant \prod_{i=6}^{n}i$$

又 $n!=\prod_{i=m}^{m+n-4}i$，所以 $(m+n-5)(m+n-4)\leqslant\dfrac{n!}{\prod_{i=6}^{n}i}=5!<11\times 12$，故 $m+n\leqslant 15$。又 $m\geqslant 6$，所以$n\in[4,9]$。经枚举，知 $4!=24$，$6!=10\times 9\times 8$ 和 $7!=10\times 9\times 8\times 7$ 满足条件。

综上所述，$\mathcal{S}=\{4,6,7,23\}$。总元素和为

$$4+6+7+23=40$$

子任务 6

我们令在 $y=2x-17$ 上的一点为 $(x, 2x - 17)$。这个直线上在横坐标上移动 $p$ 个单位长度对应着直线上的 $\sqrt{5}p$ 个单位长度。因此，不妨设这个正方形边长为 $\sqrt{5}\alpha$。

显然另一个顶点坐标为 $(x+d,2x+2d-17)$，通过弦图，我们进行一次分类讨论：

• 第一种情况为 $(x,2x-17)$ 左移 $\alpha$，上移 $2\alpha$ 达到抛物线。此时尚需上移 $\alpha$，右移 $2\alpha$ 得到另一个顶点。不难得到这两个顶点分别为 $P_1(x-\alpha,2x-17+2\alpha),P_2(x+\alpha,2x-17+3\alpha)$。代入 $y=x^2$ 此方程，不难列出

$$\begin{cases} x^2-2x\alpha+\alpha^2=2x-17+2\alpha\\ x^2+2x\alpha+\alpha^2=2x-17+3\alpha \end{cases}$$

这类情况不存在实数解，舍去。

• 第二种情况为$(x,2x-17)$ 左移 $2\alpha$，上移 $\alpha$ 达到抛物线。此时尚需上移 $2\alpha$，右移 $\alpha$ 得到另一个顶点。不难得到这两个顶点分别为 $P_1(x-2\alpha,2x-17+\alpha),P_2(x-\alpha,2x-17+3\alpha)$。代入 $y=x^2$ 此方程，不难列出

$$\begin{cases} x^2-4x\alpha+4\alpha^2=2x-17+\alpha\\ x^2-2x\alpha+\alpha^2=2x-17+3\alpha \end{cases}$$

解得

$$\begin{cases} x=7\\ \alpha=4 \end{cases} \mathrm{or} \begin{cases} x=25\\ \alpha=16 \end{cases}$$

那么面积 $S = 5\alpha^2=\begin{cases}80\\1280\end{cases}$，所求即为

$$80+1280=1360$$

子任务 7

我这题不会做，所以去查了查，答案是这么写的：

需分类讨论，答案为

$$29$$

子任务 8

解前面的方程，解得

$$x_1=\dfrac{1}{2} (1-\sqrt{5}), x_2=\dfrac{1}{2} (\sqrt{5}+1)$$

记

$$f(x)=a_1x^{17}+a_2x^{16}+1$$

那么由因式定理，有

$$f(x_1)=f(x_2)=0$$

亦即

$$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{17} a_1+\left(\dfrac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{16} a_2+1=0\\ \left(\dfrac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{17} a_1+\left(\dfrac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{16} a_2+1=0 \end{cases}$$

解得

$$\begin{cases} a_1 = 987\\ a_2 = -1597 \end{cases}$$

所求即

$$987\times (-1597) = -1576239$$

子任务 9

提取公因式。

$$\begin{aligned} &\dfrac{\sin x +\cos x}{\sin x +\tan x} + \dfrac{\tan x +\cot x}{\cos x +\tan x}+ \dfrac{\sin x +\cos x}{\cos x +\cot x}+ \dfrac{\tan x +\cot x}{\sin x +\cot x}\\ =&\,(\sin x +\cos x)\left(\dfrac{1}{\sin x +\tan x}+\dfrac{1}{\cos x +\cot x}\right)+(\tan x +\cot x)\left(\dfrac{1}{\cos x +\tan x}+\dfrac{1}{\sin x +\cot x}\right)\\ \end{aligned}$$

均值不等式的全部为

$$H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n$$

我们在这里需要用到 $H_n\leqslant A_n$。

$$\begin{aligned} &H_n\leqslant A_n\\ \Leftrightarrow&\,\dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}}\leqslant \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}}{n}\\ \Leftrightarrow&\,\dfrac{n^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i}}\leqslant {\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}} \end{aligned}$$

运用到原式，即

$$\begin{aligned} &(\sin x +\cos x)\left(\dfrac{1}{\sin x +\tan x}+\dfrac{1}{\cos x +\cot x}\right)+(\tan x +\cot x)\left(\dfrac{1}{\cos x +\tan x}+\dfrac{1}{\sin x +\cot x}\right)\\ \geqslant&\,(\sin x+\cos x)\left(\dfrac{2^2}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)+(\tan x+\cot x)\left(\dfrac{2^2}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)\\ =&\,(\sin x+\cos x+\tan x+\cot x)\left(\dfrac{4}{\sin x+\tan x+\cos x + \cot x}\right)\\ =&\,4 \end{aligned}$$

等号成立当且仅当

$$\begin{cases} \sin x + \tan x = \cos x + \cot x\\ \tan x + \cos x = \cot x + \sin x \end{cases}$$

易得 $\sin x - \cos x = \cos x - \sin x$。换而言之，即 $\sin x = \cos x$。又 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，故 $x = \dfrac{\pi}{4}$ 时，即取到最小值

$$\min_{x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\{f(x)\} = f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 4$$

子任务 10

借助工具，暴力解。解得

$$\begin{cases} x= -\dfrac{1}{5}\\\\ y= -\dfrac{2}{3}\\ z= -1 \end{cases} \mathrm{or} \begin{cases} x= \dfrac{1}{5}\\\\ y= \dfrac{2}{3}\\ z= 1 \end{cases}$$

显然正负号对 $\dfrac{m}{n}$ 无任何关系，代入，得

$$\dfrac{m}{n}=\dfrac{60706}{50625}$$

故

$$m+n=111331$$

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本文作者：David H
本文链接：https://www.cnblogs.com/David-H-Devs/p/14175001.html
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