题解 CF802N 【April Fools' Problem (medium)】

题意简述

给定两个序列，$\{a_i\}$ 和 $\{b_i\}$。要求选出 $\{i_k\}$ 和 $\{j_k\}$，满足：

• $i_l\le i_m(1\le l\le m\le k)$，$j_l\le j_m(1\le l\le m\le k)$；
• $i_p\le j_p(1\le p\le k)$；

求 $\min\left(\displaystyle\sum_{p=1}^k (a_{i_p}+b_{j_p})\right)$。

思路简述

我们先看一眼数据范围——$n\le 2200$，这暗示我们时间复杂度应该会劣于$O(n^2)$。

我们考虑一个图，满足：

• 有 $n+2$ 个节点，其中第 $i$ 天 $1$ 个节点，编号为 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n$），有一个起点（源）$s$，一个终点（宿）$t$。
• 对于每一天（记当天为第 $i$ 天，$i=1,2,3,\cdots,n$），加 $3$ 条边：
  • 从 $s$ 到 $i$，流量为 $1$，费用为 $a_i$。
  • 从 $i$ 到 $i+1$，第 $n$ 天无此边，流量为 $k$，费用为 $0$。
  • 从 $i$ 到 $t$，流量为 $1$，费用为 $b_i$。

不难看出，在该图中，当流量为 $k$ 时，最小费用刚好为我们所求的 $\min\left(\displaystyle\sum_{p=1}^k (a_{i_p}+b_{j_p})\right)$。随便分析一下时间复杂度，为 $O(nm)$，足以通过此题。

核心代码如下（用到了 AtCoder 的模板库）：

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> k;
    mcf_graph<ll, ll> graph(n + 2);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        graph.add_edge(0, i, 1, temp);
        if (i < n) graph.add_edge(i, i + 1, k, 0);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        graph.add_edge(i, n + 1, 1, temp);
    }
    pair<long long, long long> ans = graph.flow(0, n + 1, k);
    cout << ans.second << endl;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：David H
本文链接：https://www.cnblogs.com/David-H-Devs/p/14174992.html
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