组合数学做题笔记

记号与约定

记号	意义
$\mathbb{N}, \mathbf{N}$	非负整数集
$\mathbb{N}_+, \mathbf{N}_+$	正整数集
$\mathbb{Z}, \mathbf{Z}$	整数集
$\mathbb{Q}, \mathbf{Q}$	有理数集
$\mathbb{R}, \mathbf{R}$	实数集
$\mathbb{C}, \mathbf{C}$	复数集
$\sum$	求和
$\prod$	求积

题目

Elementary Combinatorics （基本组合）

难度为 [1] / [1+]

[1] The number of subsets of an $n$ -element set is $2^n$ .

这题的话，对每个元素单独讨论。每个元素有“选”与“不选”2种选择。总共有 $n$ 个元素，乘法原理直接得到答案。

[1] A composition of $n$ is a sequence $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k)$ of positive integers such that

\sum α_{i} = n

$\sum \alpha_i = n$

The number of compositions of $n$ is $2^{n−1}$ .

这题的话，用插板法。

在 $n$ 个数中随机插 $i$ 个板子，所以为

\sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) = 2^{n - 1}

$\sum_{i=0}^{n-1}\binom {n-1} {i}=2^{n-1}$

[1] If $S$ is an $n$ -element set, then let $\displaystyle\binom {S} {k}$ denote the set of all $k$ -element subsets of S. Let $\displaystyle\binom {n}{k} = \#\binom {S}{k}$ , the number ofk-subsets of an n-set. (Thus we are defining the binomial coefficient $\displaystyle\binom {n}{k}$ combinatorially when $n, k ∈ \mathbb N$ .) Then

k! (\binom{n}{k}) = n (n - 1) \dots (n - k + 1)

$k !\binom n k=n(n-1) \cdots(n-k+1)$

（第7题[1+]题意相近）

暴力就行。 $\displaystyle\binom n k = \dfrac{\mathrm{A}_n^k}{\mathrm A_k^k}$ ，于是 $k!\displaystyle\binom n k = \mathrm A_n^k = n(n-1) \cdots(n-k+1)$ 。

[1] Let $m, n ≥ 0$ . How many lattice paths are there from $(0, 0)$ to $(m, n)$ , if each step in the path is either $(1, 0)$ or $(0, 1)$ ?

每一步向上 / 右走一步，走到 $(m,n)$ ，需要在 $(m+n)$ 次中选择 $m$ 次走上。故有 $\displaystyle\binom {n+m}m$ 种。

[1] For $n > 0$ , $\displaystyle2\binom {2n-1} n = \binom {2n} n$ .

这里的话，我们暴力。

2 (\binom{2 n - 1}{n}) = 2 \frac{\prod_{i = n}^{2 n - 1} i}{n!}

$2\binom {2n-1} n=2 \frac{\displaystyle \prod_{i=n}^{2n-1}i}{n!}$

\begin{aligned} (\binom{2 n}{n}) = & \frac{\prod_{i = n + 1}^{2 n} i}{n!}, \\ = & \frac{\prod_{i = n}^{2 n - 1} i}{n! \cdot n \div n} \cdot 2, \\ = & \frac{\prod_{i = n}^{2 n - 1} i}{n!} \cdot 2, \\ = & 2 (\binom{2 n - 1}{n}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \binom {2n} n=&\frac{\displaystyle \prod_{i=n+1}^{2n}i}{n!},\\ =&\frac{\displaystyle \prod_{i=n}^{2n-1}i}{n!\cdot n\div n}\cdot 2,\\ =&\frac{\displaystyle \prod_{i=n}^{2n-1}i}{n!}\cdot 2,\\ =&2\binom {2n-1} n. \end{aligned}$

[1+] For $n ≥ 1$ , $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom n k = 0$ .

暴力展开

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{k}) = & \sum_{i = 0, 2 ∣ i}^{n} (\binom{n}{k}) - \sum_{i = 0, 2 ∤ i}^{n} (\binom{n}{k}), \\ = & \dots \\ = & 0. \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom n k=&\sum_{i=0,2\mid i}^{n}\binom n k-\sum_{i=0,2\not\mid i}^{n}\binom n k,\\ =&\cdots\\ =&0. \end{aligned}$

（反正中间经过一次分类讨论就可以做出来）

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本文作者：David H
本文链接：https://www.cnblogs.com/David-H-Devs/p/14169447.html
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