[算法]从一道题引出variable-precision SWAR算法
苏君君出了一道题,是牛客网上面的:
输入一个int型整数,输出该数二进制表示中1的个数。其中负数用补码表示。
其实这道题并不难,大家很容易想到的解法是转成字符串的思路,即如下所示:
public static int NumberOf1(int n) { String s = Integer.toBinaryString(n); int count = 0; for (int i = 0; i < s.length(); i++) { if(s.charAt(i) == '1'){ count++; } } return count; }
但是这样运算速度不快。经过魏印福的点拨,知道了Redis中采用的variable-precision SWAR算法,这个算法非常厉害,因为他没有按照常规思路,而是采用了分组移位的思路。
参见博客:https://blog.csdn.net/jasonbaoly/article/details/47336899
算法实现:
int SWAR(unsigned int i) { i = i - ((i >> 1) & 0x55555555); i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333); return (((i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24; }
下面逐行解释一下:
第一行
i = i - ((i >> 1) & 0x55555555);
0x55555555二进制的标识方式如下:
0x55555555 = 0b01010101010101010101010101010101
可以看到的规律是,奇数位为1,偶数位为0。
表达式((i >> 1) & 0x55555555),将i右移一位,并将所有偶数位设置为0.(等效的,我们也可以通过& 0xAAAAAAAA将所有奇数位设置成0,然后再将结果右移1位)为了方便起见,我们将这个中间值命名为j。
当我们将中间值j从原始值i中减去会发生什么?那让我们来看看如果i只有两位是什么情况。
i j i - j ---------------------------------- 0 = 0b00 0 = 0b00 0 = 0b00 1 = 0b01 0 = 0b00 1 = 0b01 2 = 0b10 1 = 0b01 1 = 0b01 3 = 0b11 1 = 0b01 2 = 0b10
最后的结论就是i-j的十进制结果就是位数组中1出现的次数。
那么如果i不只是两位数组呢?实际上,很容易发现i-j的最低两位仍然如上表所示,三四位,五六位也是一个道理,等等。需要注意的是:
- 由于& 0x55555555的巧妙用法,尽管>> 1,i-j的最低两位不会被i的第三位或者更高的位影响。
- 由于j的最低两位永远不可能在比i的最低两位大。这个减法永远不会向i的第三位借位,因此:对于i-j来说,i的最低两位不会影响i的第三位或者更高位。
实际上这一行就是将32位数组分为16个两位为单位的组,每组分别计算1出现的次数。
第二行:
i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);
与第一行对比,这一行非常的简单。首先,来看一下0x33333333的二进制表示:
0x33333333 = 0b00110011001100110011001100110011
i & 0x33333333的目的是以4位为分组取四位中的后两位。而(i >> 2) & 0x33333333在把i右移两位后做同样的工作。然后把它们结果加起来。
因此,实际上,这行做的工作就是将最低的两位1出现的次数和最低三四位的1出现的次数相加,得到最低四位的1出现的次数。同样的对于输入的8个四位分组(=16进制数)都是一样的。
第三行:
return (((i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24;
(i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F除了这次是用临近的4位1出现的次数系相加,得到8位为一组的1出现的次数,以外原理跟前一行一样。(和上一行有所不同的是,我们可以把&去掉,因为我们知道原始输入8位不可能出现超过8个1因此二进制值不会超过4位。)
现在我们有一个三十二位数,由四个字节组成,每个字节保存着原始输入中为1的位的数量。(我们把它们称作A,B,C和D。)那么为什么我们用0x01010101乘以这个值(命名为k)?
由于:
0x01010101 = (1 << 24) + (1 << 16) + (1 << 8) + 1
可得:
k * 0x01010101 = (k << 24) + (k << 16) + (k << 8) + k
因此,最高位总和就是最终的结果,如下图所示:
k * 0x01010101最高位就是原始输入的1出现次数的最终结果。>> 24只是简单的将最高位的值移到最低位。
另一种更好理解的写法:
int SWAR(unsigned int i) { x = (x & 0x55555555) + ((x >> 1) & 0x55555555); x = (x & 0x33333333) + ((x >> 2) & 0x33333333); x = (x & 0x0f0f0f0f) + ((x >> 4) & 0x0f0f0f0f); i = (i*(0x01010101) >> 24) return i; }