亮灯问题

本题是滴滴出行2016研发工程师笔试题

问题

2015盏灯，一开始全部熄灭，序号分别是1-2015，先把1的倍数序号的灯的开关全部按一次，然后把2的倍数的灯的开关全部按一次，然后把3的倍数的灯的开关全部按一次，以此类推，最后把2015的倍数灯的开关按一次。问最后亮着的灯有多少盏？

解题思路

简单思考之后发现，一个数如果有偶数个约数，则最后是暗的，如果有奇数个约数，则最后是亮的。所有的质数都有两个约数，1和自身，所以质数最后一定是暗的。对于合数，有个有意思的情况，就是除了1和本身之外，还有其他约数，那么这些约数有什么规律呢？我们可以发现，它们一般都会成对出现，比如15还可以分解成3和5，20还可以分解成2和10，或者4和5，一旦成对，最后肯定是偶数个约数，所以最后灯还是暗的。但是这里有个特殊情况，就是平方数！因为它们除了可以分解成成对的两个约数之外，还可以分解成自身乘以自身，这就说明它多出一个约数，比如16，除了分解成1和16，2和8，还可以分解成4和4，所以16的约数有1,2,4,8,16，可以看到它有5个约数，奇数个约数，最后灯是亮的。所以这个问题最后变成2015之内有多少个平方数。1,2,3,4...44，45的平方是2025，就比2015大了，所以最后结果是44。