P1850 换教室[dp+期望]

流下了不会概率的眼泪，由于不会概率，转移少写了点东西。。。

这个dp很简单，就是一个普通的线性dp加点期望。（刚开始写这道题时信笔写下）

\(dp[0/1][i][j]\)表示到第\(i\)个时间段时，已经申请了换\(j\)门课程的教室，当前申请0不换、1换教室的最小数学期望。

注意，我们的状态定义是申请，而不是已经申请成功，这样定义状态就可以统计出数学期望了。

对于当前状态没申请的情况，如果上一个时间段也没申请，那只有一种可能性发生，即俩状态都没换；如果上一个时间段申请了，那上一个状态就可能没成功，也可能成功了，二者我们都要统计。

对于申请了的情况也是一样的。

故有转移（巨长版）

\[dp[0][i][j]=min(dp[0][i-1][j]+dist(c_{i-1},c_{i}),\\dp[1][i-1][j]+k_{i-1}*dist(d_{i-1},c_i)+(1-k_{i-1})*dist(c_{i-1},c_i))\\~\\dp[1][i][j]=min(dp[0][i-1][j-1]+k_i*dist(c_{i-1},d_i)+(1-k_i)*dis(c_{i-1},c_i),\\dp[1][i-1][j-1]+k_{i-1}*k_i*dist(d_{i-1},d_i)+(1-k_{i-1})*k_i*dist(c_{i-1},d_i)+k_{i-1}*(1-k_i)*dist(d_{i-1},c_i)+(1-k_{i-1})*(1-k_i)*dist(c_{i-1},c_i)) \]

其中\(dist(x,y)\)表示最短路，观察数据范围，点数较少，直接上floyd。

初始化\(dp[0][1][0]=dp[1][1][1]=0,dp[0/1][][]=inf\)

答案在\(min(dp[0/1][n][0\sim m])\)。

注意重边和I\(inf\) 的设置，不要搞混\(n\)和\(v\)。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 310
#define M 2010
#define MOD 2520
#define E 1e-12
#define eps 4e-4
#define re register
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,v,e,c[M],d[M],dis[N][N];
double k[M],dp[2][M][M];
inline int Min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline double dmin(double a,double b){return a-b<eps?a:b;}//卡常（
inline void init()
{
	for(re int k=1;k<=v;++k)
		for(re int i=1;i<=v;++i)
			for(re int j=1;j<=v;++j)
				dis[i][j]=Min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);//floyd
	for(re int i=1;i<=v;++i) dis[i][i]=dis[0][i]=dis[i][0]=0;//仔细观察，这也是dp边界的一部分
	for(re int i=0;i<=n;++i)
		for(re int j=0;j<=m;++j) dp[0][i][j]=dp[1][i][j]=INF*1.0;
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),v=read(),e=read();
	memset(dis,0x3,sizeof(dis));
	for(re int i=1;i<=n;++i) c[i]=read();
	for(re int i=1;i<=n;++i) d[i]=read();
	for(re int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&k[i]);
	for(re int i=1;i<=e;++i){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		dis[u][v]=dis[v][u]=Min(dis[u][v],w);
	}
	init();
	dp[0][1][0]=dp[1][1][1]=0;
	for(re int i=2;i<=n;++i)
		for(re int j=0;j<=Min(i,m);++j){
			dp[0][i][j]=dmin(dp[0][i-1][j]+dis[c[i-1]][c[i]],dp[1][i-1][j]+k[i-1]*dis[d[i-1]][c[i]]+(1-k[i-1])*dis[c[i-1]][c[i]]);
			if(j>=1) dp[1][i][j]=dmin(dp[0][i-1][j-1]+k[i]*dis[c[i-1]][d[i]]+(1-k[i])*dis[c[i-1]][c[i]],dp[1][i-1][j-1]+k[i]*k[i-1]*dis[d[i-1]][d[i]]+k[i]*(1-k[i-1])*dis[c[i-1]][d[i]]+(1-k[i])*k[i-1]*dis[d[i-1]][c[i]]+(1-k[i])*(1-k[i-1])*dis[c[i-1]][c[i]]);
		}
	double ans=INF*1.0;
	for(re int i=0;i<=m;++i)
		ans=dmin(ans,dmin(dp[0][n][i],dp[1][n][i]));
	printf("%.2lf",ans);
	return 0;
}