*P2398 GCD SUM[数论]

题目描述

for i=1 to n

for j=1 to n

 sum+=gcd(i,j)

解析

给出n求sum. gcd(x,y)表示x,y的最大公约数.

直接枚举复杂度为\(O(n^2)\)，显然无法承受。

我们需要寻找更优的算法。

首先，打表找规律，当\(n=10\)时，是这样的

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1
1 2 1 4 1 2 1 4 1 2
1 1 1 1 5 1 1 1 1 5
1 2 3 2 1 6 1 2 3 2
1 1 1 1 1 1 7 1 1 1
1 2 1 4 1 2 1 8 1 2
1 1 3 1 1 3 1 1 9 1
1 2 1 2 5 2 1 2 1 10

可以看到，上半部分和下半部分是对称的，我们考虑一边即可。

若\(gcd(i,j)=x\)，那么\(gcd(ki,kj)=kx\)。

因此，显然对于任意\(gcd(i,j)=1\)，有\(gcd(ki,kj)=k\)，且充要。我们枚举\(k\)，对于每个\(k\)，计算\(gcd(ki,kj)=k\)的数量即可。

由于\(gcd(ki,kj),gcd(kj,ki)\)被算作分开的两次，而\(gcd(i,i)\)只会被算一次，所以减去1。

因此，对于所有的\(i\)，计算

\[\sum_{i=1}^n（\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}2*\varphi(k)-1)*i \]

预处理\(\varphi(k)\)的前缀和即可\(O(n)\)求解。

推导过程

\[\begin{align} Ans &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n}[gcd(i,j)==k]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k\mid i , j}[gcd(i/k,j/k)==1]\\ &=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}(2\sum_{j=1}^{i}\sum_{k=1}^n[gcd(i,j)==1]-1)\\ &=\sum_{i=1}^n（\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor}2*\varphi(k)-1)*i \end{align} \]