乘法逆元

乘法逆元

乘法逆元在模算术中具有举足轻重的地位，\(OI\)中随处可见它的身影，是一个\(OIer\)必不可少的基础技能。

对于乘法逆元的作用，我觉得这个总结的挺好：

乘法逆元，一般用于求

\[\frac{a}{b}\pmod{p} \]

的值，是解决模意义下除法运算的重要手段。

那么问题来了，为啥不直接除呢？原因是除法不满足模意义下的运算规则，我们要把它转换成乘法的形式。

乘法逆元定义

如果有一个线性同余方程\(ax\equiv 1\pmod{p}\)，且\(a,p\)互质，则\(x\)称为\(a\mod p\)的逆元，记作\(a^{-1} \mod p\)。

回到这个式子

\[\frac{a}{b}\pmod{p} \]

我们求它就等于求

\[ab^{-1}\pmod{p} \]

求逆元的一般方法

扩展欧几里得求解线性同余方程

线性同余方程：给定整数\(a,b,m\)，求一个整数\(x\)满足\(a*x\equiv b\pmod{m}\)，或给出无解。由于未知数次数为1，我们也称其为线性同余方程。其等价于求解方程\(ax+my=b\)，其中\(y\)为\(-\frac{ax-b}{m}\)。

显而易见，该方程可以用\(Bezout\)定理求解，由定理得其有解当且仅当\(\gcd(a,m)\mid b\)。具体做法就是求出特解\(\gcd(a,m)\)然后通分。

inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0){x=1,y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
	return d;
}

费马小定理

费马小定理：

\[a^{p-1}\equiv 1\pmod{p} \]

其可以化为：

\[a^{p-2}*a\equiv 1 \pmod{p} \]

根据乘法逆元的定义，\(a^{p-2}\)即为\(a\)在模\(p\)意义下的逆元。通过快速幂我们就可以\(O(logn)\)地求任意正整数的逆元。

线性求逆元

上面两种方法一般是计算单个正整数的逆元时使用，如果我们需要一堆数的逆元时，上面两种算法都显得很慢了。

对于一个正整数\(p\)，它可以被写作\(kq+r\)的形式，其中\(q>r\)。即\(p=kq+r\)，在模\(p\)的意义下，它记为\(kq+r\equiv 0\pmod{p}\)，移项得\(-kq\equiv r\pmod{p}\)，两边同时乘上\(q,r\)的逆元，得到\(-kr^{-1}\equiv q^{-1}\pmod{p}\)，把\(r\)和\(k\)替换成\(p\)，再变化一下，得到\((p-\frac{p}{q})(p\mod q)^{-1}\mod p = q^{-1}\)。

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;