P1220 关路灯[区间dp]

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

输出解释：

{此时关灯顺序为3 4 2 1 5，不必输出这个关灯顺序}

解析

首先考虑尽可能地先关掉功率最大的灯，且走到每一个位置都把当前位置的灯关掉一定是最优的。再者，老张的行走路线一定是覆盖整个大区间的，那么老张的行走路线一定是从起点向外不断扩展地去关灯地。这使我们联想到区间dp，考虑到一段区间可能之前已经被全部关闭了，而我们不知道这段区间老张是从左往右走过去关掉的还是从右往左走过来关掉的，所以我们的状态中还要记录老张的位置。我们只需记录老张在左右端点的位置，因为中间的位置一定是之前已经计算出来的。

设\(dp[1/0][l][r]\)表示在\(l\sim r\)这段区间内，老张此时在这段区间的右端点/左端点的最小耗电。在右端点表明他是从左边走过来的，因此他左边的灯都是关上的，左端点反之。

思考状态转移方程，假设老张在某个区间\(l\sim r\)内，显而易见，会出现两种转移：

1. 老张在该区间的左端点\(l\)，有可能从\(l+1\)走过来，也有可能从右端点\(r\)走过来。
2. 老张在该区间的右端点\(r\)，有可能从\(r-1\)走过来，也有可能从左端点\(l\)走过来。

注意一些细节，功率的计算很容易出错，比如我就卡了很久。注意一次转移中走到的那个位置的灯的费用也要计算，显而易见它转移之前是开着的。

\[dp[0][l][r]=min(dp[1][l+1][r]+(a[r]-a[l])*(P-d[r]+d[l]),dp[0][l+1][r]+(a[l+1]-a[l])*(P-d[r]+d[l])),\\ dp[1][l][r]=min(dp[1][l][r-1]+(a[r]-a[r-1])*(P-d[r-1]+d[l-1]),dp[0][l][r-1]+(a[r]-a[l])*(P-d[r-1]+d[l-1])) \]

其中\(P\)表示总功率，\(a[]\)表示输入的距离，可以理解做走一段区间所需时间，\(d[]\)表示功率的前缀和数组。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define N 55
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,c,dp[2][N][N],d[N],a[N],P;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&c);
	int maxx=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&a[i],&d[i]);
		P+=d[i];
		d[i]+=d[i-1];
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][c][c]=dp[1][c][c]=0;
	for(int len=2;len<=n;++len)
	 for(int l=1;l<=n-len+1;++l){
	 	int r=l+len-1;
	 	if(l<=c&&c<=r){
	 		//0 left 1 right
	 		dp[0][l][r]=min(dp[1][l+1][r]+(a[r]-a[l])*(P-d[r]+d[l]),dp[0][l+1][r]+(a[l+1]-a[l])*(P-d[r]+d[l]));
	 		dp[1][l][r]=min(dp[1][l][r-1]+(a[r]-a[r-1])*(P-d[r-1]+d[l-1]),dp[0][l][r-1]+(a[r]-a[l])*(P-d[r-1]+d[l-1]));
		}
	 }
	printf("%d\n",min(dp[1][1][n],dp[0][1][n]));
	return 0;
}