P1280 尼克的任务[区间覆盖dp]
题目描述
尼克每天上班之前都连接上英特网，接收他的上司发来的邮件，这些邮件包含了尼克主管的部门当天要完成的全部任务，每个任务由一个开始时刻与一个持续时间构成。
尼克的一个工作日为N分钟，从第一分钟开始到第N分钟结束。当尼克到达单位后他就开始干活。如果在同一时刻有多个任务需要完成，尼克可以任选其中的一个来做，而其余的则由他的同事完成，反之如果只有一个任务，则该任务必需由尼克去完成，假如某些任务开始时刻尼克正在工作，则这些任务也由尼克的同事完成。如果某任务于第P分钟开始，持续时间为T分钟，则该任务将在第P+T-1分钟结束。
写一个程序计算尼克应该如何选取任务，才能获得最大的空暇时间。
输入输出格式
输入格式：
输入数据第一行含两个用空格隔开的整数N和K(1≤N≤10000，1≤K≤10000)，N表示尼克的工作时间，单位为分钟，K表示任务总数。
接下来共有K行，每一行有两个用空格隔开的整数P和T，表示该任务从第P分钟开始，持续时间为T分钟，其中1≤P≤N，1≤P+T-1≤N。
输出格式：
输出文件仅一行，包含一个整数，表示尼克可能获得的最大空暇时间。
输入输出样例
输入样例#1：
15 6
1 2
1 6
4 11
8 5
8 1
11 5
输出样例#1：
4
解析：
写完这道题，我才感觉我真正理解了\(dp\)。。。
\(dp\)最主要的还是阶段，状态，决策这三点，设计好了就没有问题，在做\(dp\)题时，一定要对状态空间有清晰的刻画，才能准确的写出转移方程。实际上由于最优子结构和无后效性，只用考虑上一个状态跟当前状态的关系，而我之前总是觉着\(dp\)作为一个解决问题的系统有那么点玄乎。。。
显然这道题不能正推，由于子问题的最优解都是由一段段持续的时间决定的，也就是说当前的状态的转移可能会用到之后的状态，那就保不齐在还未求解出后面的状态时，前面的状态就用到了这个后面的尚未求解的状态，这在\(dp\)中是不被允许的。\(dp\)中，如果我们要求出下一阶段的最优解，那么本阶段的最优解就要先求出来。
倒推就可以解决这种问题，由于在某个的时刻开始的每个任务，它们的起始时间都是确定的，它们的结束时间恰好落在曾经的解决过的子问题中。这样的话在逆推时，我们关注某个起始时刻时，可选择的任务就确定了，求解子问题所需的状态也是之前求出来过的。（可能这么说不准确，但我也不知道怎么讲了，自己细细品味）
总之，倒推的话，当前状态就可以由之前的状态转移而来了。
因此我们设\(dp[i]\)为\(i-n\)的最长空闲时间，那么，显然\(dp[n]=0\)即是初始状态。
在\(i\)时刻，可能有一些以此时刻为起点的任务，也可能没有。
所以我们可以得到两个状态转移方程：
-
\(dp[i]=dp[i+1]+1\)。即当前时刻\(i\)没有任务，我们就继承上一时刻的最优解。
-
\(dp[i]=max(dp[i],dp[i+a[num]])\)，其中\(a[num]\)表示在时刻\(i\)时，之前已经执行过的任务的个数\(num\)，以及当前任务的持续时间\(a[num]\)。即当前时刻有任务，我们选取使得空闲时间最长的决策。
参考代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1.0)
#define N 10010
#define MOD 2520
#define E 1e-12
using namespace std;
int dp[N],n,k,t[N];
struct node{
int p,t;
}a[N];
bool operator<(node a,node b)
{
return a.p>b.p;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=k;i++){
scanf("%d%d",&a[i].p,&a[i].t);
t[a[i].p]++;
}
sort(a+1,a+k+1);
int num=1;
for(int i=n;i>=1;i--)
if(t[i]==0) dp[i]=dp[i+1]+1;
else for(int j=1;j<=t[i];j++){
dp[i]=max(dp[i],dp[i+a[num++].t]);
}
cout<<dp[1]<<endl;
return 0;
}
