P3197 [HNOI2008]越狱[组合数学]

题目来源：洛谷

题目描述

监狱有连续编号为 1…N 的 N 个房间，每个房间关押一个犯人，有 M 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入输出格式

输入格式：

 

输入两个整数 M,N

 

输出格式：

 

可能越狱的状态数，模 100003取余

 

输入输出样例

输入样例#1： 

2 3

输出样例#1： 

6

说明

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

1≤M≤10^8
1≤N≤10^12

 

解析：

这道题需要一些组合数学基础，没学过的出门右转。

我们根据稍微的组合数学基础容易知道，按照题意，总共有m^n 种犯人的组合。

如果我们要从正面突破这道题比较复杂，不如我们逆向思维想一下，是不是可以求出不会发生越狱的状态（当然是因为它好算），再用可能组合总数减去它得到答案？

 

首先，我们知道之前的m^n是由这样一个情形推导出来的：

由于每个牢房可以有m种宗教状态，方法总数就是m^n：

1	2	3	...	n
m	m	m	...	m

而我们知道，如果相邻的两个犯人的宗教相同，就会发生越狱，所以如果相邻两个犯人的宗教不同，也就是除了某一个犯人，其它任意相邻的两个犯人都只能信仰m-1种宗教（那个特殊的犯人占了一种），否则就会发生越狱。

所以不会越狱的方案总数就是m*(m-1)^(n-1)。

1	2	3	...	n
m	m-1	m-1	...	m-1

 

参考代码：

注意这里有一个魔幻的取模。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define mod 100003
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
inline ll power(ll a,ll b,int p)
{
    ll ans=1%p;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) ans=(ll)ans*a%p;
        a=(ll)a*a%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,m;
    m=read(),n=read();
    ll ans=(power(m,n,mod)%mod-m*power(m-1,n-1,mod)%mod)%mod;
    printf("%lld",(ans%mod+3*mod)%mod);
    return 0;
}