CH6201 走廊泼水节[最小生成树]

描述

【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。

我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

输入格式

 本题为多组数据~
 第一行t，表示有t组测试数据
 对于每组数据
 第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
 2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

输出格式

 对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

样例输入

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5 

样例输出

4
17 

数据范围与约定

•  每个测试点最多10组测试数据
   50% n<=1500;
   100% n<=6000
   100% z<=100

样例解释

第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.

 

解析：

我们可以按照一种类似Kruskal的思路来做。把边权排个序依次加入并查集。

思路是这样，每次往并查集中加入一条边时，除非是第一条加入的边，那么势必会产生一张没有联通完全的图。按照题意，我们最后得出的是一张完全图，所以说每次加入边的时候我们就可以把没连上的点连上了，反正他们最后势必要连，不如连更小边权的边。我们用Sx和Sy表示某两个不交叉的并查集的元素个数，这时我们假设现在要在两个并查集之间连一条当前的最小边z，假设它的边权为val，其它没有连接的节点如果连接起来，而且我们想让它们的边权最小，就会产生Sx*Sy-1个点相连的情况，以及多出(val+1)*(Sx*Sy-1)的边权。

这就是增加的边权了，而且它势必最小。

参考代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 10010
using namespace std;
int s[N],fa[N];
struct node{
    int x,y,val;
}g[N];
bool operator<(node a,node b){
    return a.val<b.val;
}
int get(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=get(fa[x]);
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(fa,0,sizeof(fa));
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<n;i++)
            scanf("%d%d%d",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].val);
        for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,s[i]=1;
        sort(g+1,g+n);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<n;i++){
            int x=get(g[i].x),y=get(g[i].y),val=g[i].val;
            if(x==y) continue;
            fa[x]=y;
            ans+=(long long)(val+1)*(s[x]*s[y]-1);
            s[y]+=s[x];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}