1 奇数偶数

1 奇数偶数

性质

1.1.1   
奇数+(-)奇数=偶数，
偶数+(-)偶数=偶数, 
奇数+(-)偶数=奇数， 
偶数+(-)奇数=奇数；     
1.1.2   
奇*偶=偶数， 
奇*奇=奇数， 
偶*偶=偶数，  
偶数/奇数=偶数，  
偶数/偶数=奇数或偶数    
1.1.3   
多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数。  
多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）
1.1.4
n*(n+1)为偶数

性质:

1.1.1n为奇数，令数组\(a\)是[1,n]的一个排列，则
\(\prod\limits_{i=1}^n(a_i-i)\)
是偶数。
证明：易知
\( \sum\limits_{i=1}^n(a_i-i) = \sum\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=1}^ni = 0 \)
，由性质1.1.3多个数相加减时，偶数个奇数之和是偶数，所以数组\(a_i-i\)中有偶数个奇数，故一定存在一个\(a_i-i\)为偶数，则
\(\prod\limits_{i=1}^n(a_i-i)\)
为偶数。

1.1.2设\(a,b,c\)都为奇数，则方程\(ax^2+bx+c=0\)无有理数解
证明:
若方程\(ax^2+bx+c=0\)有有理数解,则一定可以表示成最简分式形式，不妨令\(\frac{r}{s}\)为有理数解的最简分式。得到：

\[a(\frac{r}{s})^2+b\frac{r}{s}+c=0 \]

两边同乘\(s^2\):

\[ar^2+brs+cs^2=0 \]

若\(r,s\)都为奇数，奇数之和不可能为偶数；
若\(r,s\)都为偶数，则\(\frac{r}{s}\)不是最简分式；
若\(r,s\)都为偶数一奇一偶，\(brs\)为偶数，\(ar^2,cs^2\)一奇一偶，结果一定不是偶数。
综上方程\(ax^2+bx+c=0\)无有理数解。