1 奇数偶数
1 奇数偶数
性质
1.1.1
奇数+(-)奇数=偶数,
偶数+(-)偶数=偶数,
奇数+(-)偶数=奇数,
偶数+(-)奇数=奇数;
1.1.2
奇*偶=偶数,
奇*奇=奇数,
偶*偶=偶数,
偶数/奇数=偶数,
偶数/偶数=奇数或偶数
1.1.3
多个数相加减时,结果由奇数个数决定:奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数。
多个数相乘时,只要有偶数,结果必为偶数(见偶得偶)
1.1.4
n*(n+1)为偶数
性质:
1.1.1n为奇数,令数组\(a\)是[1,n]的一个排列,则
\(\prod\limits_{i=1}^n(a_i-i)\)
是偶数。
证明:易知
\(
\sum\limits_{i=1}^n(a_i-i) = \sum\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=1}^ni = 0
\)
,由性质1.1.3多个数相加减时,偶数个奇数之和是偶数,所以数组\(a_i-i\)中有偶数个奇数,故一定存在一个\(a_i-i\)为偶数,则
\(\prod\limits_{i=1}^n(a_i-i)\)
为偶数。
1.1.2设\(a,b,c\)都为奇数,则方程\(ax^2+bx+c=0\)无有理数解
证明:
若方程\(ax^2+bx+c=0\)有有理数解,则一定可以表示成最简分式形式,不妨令\(\frac{r}{s}\)为有理数解的最简分式。得到:
\[a(\frac{r}{s})^2+b\frac{r}{s}+c=0
\]
两边同乘\(s^2\):
\[ar^2+brs+cs^2=0
\]
若\(r,s\)都为奇数,奇数之和不可能为偶数;
若\(r,s\)都为偶数,则\(\frac{r}{s}\)不是最简分式;
若\(r,s\)都为偶数一奇一偶,\(brs\)为偶数,\(ar^2,cs^2\)一奇一偶,结果一定不是偶数。
综上方程\(ax^2+bx+c=0\)无有理数解。