CF1528F AmShZ Farm 题解
Solution
看到这种题，我们肯定就知道按它给的限制一定是不好计算，所以我们就需要考虑如何对题意进行转化。
我们可以发现，一个序列合法的话，相当于我们先构造一个长度为 \(n+1\) 的空序列，我们第 \(i\) 次把一个石头找到 \(\ge a_i\) 的第一个空位并放入，且最后空位为 \(n+1\)。我们考虑放在环上面考虑，那么可以发现最后每一个元素被空出来的概率都是相同的，也即是说不合法的方案是 \((n+1)^{n-1}\) 种。而我们进一步发现，合法的序列与合法的环也是一一对应的。更进一步的，我们可以发现合法的环能对应 \(n\) 个不合法的环，即进行整体旋转操作。
那么我们现在可以对于出现次数考虑计算答案：
\[\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}n^{n-i}i^k
\]
后面就是一些比较基础的第二类斯特林展开的东西，就不展开了，反正可以得到答案为：
\[\sum_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix} k\\i\end{Bmatrix}n^{\underline{i}}(n+1)^{n-i}
\]
求第二类斯特林树的行的话直接 fft 即可。复杂度 \(\Theta(k\log k)\)。不过似乎可以直接推出答案是 \((n+1)^{\underline{k+1}}(n+1)^{n-k}\)。
还有另外一种从构造树的方法去考虑的，感觉更麻烦了，所以这里就不写了。
