md，忍不了了，一拳把网络流打爆😡😅

Starry Night Camping

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sb题，可以发现如果不合法一定是存在路径类似于 \((1,1)\to (1,0)\to (0,0)\to (0,1)\) （模 \(2\) 意义下的），那么我们直接每个点拆开，两个点之间连边为点权，然后不同层之间相邻的连边直接跑最小割就好了。

[CQOI2017]老C的方块

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也很蠢，跟上面的差不多。按下图编号即可。

可以发现不合法路径一定可以表示为 \(1\to 2\to 3\to 4\) 的，所以跟上面一样拆点跑最小割即可。

CF1288F Red-Blue Graph

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我们发现红点可以理解为红边-蓝边 \(\ge 1\)，蓝点可以理解为蓝边-红边 \(\ge 1\)。那么我们把红边、蓝边都理解为流，假设红边为出边，蓝边为入边，那么红点即是入度-出度 \(\ge 1\)，蓝点则相反。

那么我们可以用上下界有源汇费用流解决，建图如下：

（Linux下画图真的很麻烦就直接用一下湘妹的吧😨😅）

可以看出这样建图不会一条边即红又蓝。

CF802O April Fools' Problem (hard)

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其实可以看出有一种暴力跑费用流的方法，即建二分图，然后左边往编号比它大的点连。

转成费用流之后就可以看出这玩意关于 \(k\) 实际上是一个凸包（这个比较显然），那么我们就可以用 wqs 二分。那么问题就是如何算最优方案。这玩意可以直接反悔贪心。所以就可以做到 \(\Theta(n\log^2 n)\)。

不过似乎有直接模拟费用流可以做到 \(\Theta(n\log n)\)，但是感觉不如 wqs 二分好写。

【UNR #1】奇怪的线段树

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挺有意思的。

可以看出我们真正关心的是是覆盖底部的节点，因为它们被覆盖，则祖先一定都能被覆盖。

然后我们可以发现的两个性质是：（右儿子是指是父亲的右儿子的节点，左儿子同理）

1. 一个区间在线段树上会被拆成连续的右儿子和连续的左儿子。

2. 任意右儿子左端点都不相同，左儿子同理。

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那么我们其实相当于可以把一些节点串起来一起询问。具体来说，对于 \([l_i,r_i]\) 的右儿子，\(l_j=r_i+1\) 的节点 \(j\) 可以跟 \(i\) 拼在一起，对于 \([l_i,r_i]\) 的左儿子，\(l_j=r_i+1\) 的左儿子可以拼在一起。那么这个问题我们就可以用有源汇上下界最小流解决，即对于每个节点拆点，对于必须覆盖的节点两个点之间流量下界为 \(1\)。

但是这样显然第 \(1\) 类边会爆炸，第 \(2\) 类边是 \(\Theta(n)\) （根据性质 \(2\) 可以得出）。但是注意到我们完全可以对第 \(1\) 类边优化建图。所以就解决了。

复杂度据说是 \(\Theta(n^2)\) 的？不太会分析这种网络流建图的复杂度。不过似乎有贪心可以做到线性的。

[BJWC2018]Kakuro

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虽然不是太难，但是这个shit题面让我直接看题解了（指读错题了）。

我们其实不难构造出一个合法解，即空位都填 \(1\)，然后线索都填它所控制的空位个数。注意到一个重要限制是保证一个位置一定能同时被两个线索控制。那么我们可以考虑把线索拿出来按横纵分成二分图，然后对于一个线索而言，如果原来是 \(x\)，现在是 \(y\)，改变所需权值是 \(v\)，如果 \(x\ge y\)，那么有 \(y-x\) 是可以用 \(-v\) 去改回去的，然后我们还可以用 \(v\) 让它往 \(x\) 上面继续增加。

然后对于格点考虑，那么即是控制它的两个线索同时更改，那么我们可以把这个视作一条边，然后连边跟上面一样即可。

因为我们只是需要最小费用可行流，所以当 cost \(\ge 0\) 的时候退出即可。

不过这样建边似乎不能处理不能更改权值的点，其实可以发现把权值设为 \(\infty\) 即可，这样它更改一定不优，最后判一下无解即可。