2022/10/25 题解

天天考，tmd！！！！/fn

T3 [AGC008F] Black Radius

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Solution#

tmd，只要方向一错就tm永远做不出来！！！！/fn

设 $D(u,r)$ 表示以 $u$ 为圆心，半径为 $d$ 覆盖到的点集。我们考虑对于每个 $D$ 在 $r$ 最小的时候统计，可以证明的是不会出现 $u_0,u_1$ 使得 $D(u_0,r)=D(u_1,r)$（$D(u_0,r)$ 不是全集）。所以我们以下都在不考虑全集的情况下考虑，最后加 $1$ 即可。

那么我们先考虑 $\forall i,s_i=1$ 的情况。对于点 $u$，可以发现的是，一定是统计到一个前缀，而如果 $D(u,i)$ 需要在 $u$ 被统计到，那么任意 $v$ 都存在 $D(v,i-1)\not= D(u,i)$（$v$ 是 $u$ 的相邻节点）。 所以我们考虑以 $u$ 为根来考虑，那么可以发现即是 $i+1\le$ 除 $v$ 以外子树的最大深度。那么做个换根即可。

然后考虑 $s_u=0$ 的情况，那么即是对于 $i$ 判断是否存在 $v$ 使得 $D(v,r)=D(u,i)$ 且 $i$ 是能覆盖 $D(v,r)$ 的最小半径，且 $s_v=1$。可以证明的是，如果存在 $v$，那么以 $u$ 为根时 $u$ 的包含 $v$ 的邻接子树必须都被覆盖到（可以使用反证法证明，如果存在未被覆盖的节点，那么取它与 $v$ 的 lca 会更优）。那么取一个深度最小的一定最优。

然后你发现可以对于每个 $u$ 把合法的区间用换根求一下就好了。

T4 [AGC011F] Train Service Planning

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Solution#

根本没看/kk

不妨设 $p_i,q_i$ 表示 $0\to n,n\to 0$ 第 $i$ 个站台的停留时间。我们考虑设 $S(a,i)=\sum_{j=0}^{i} a_j$，最后答案就是 $S(p,n)+S(q,n)+2S(a,n)$。另外注意到的是，因为我们是每 $K$ 间隔发一次车，那么我们可以在 $\mod K$ 的情况下考虑。又因为我们可以自己定 $q_0$ 且不会影响什么（相当于时间一起转一下），所以我们调整到 $S(q,n)\equiv 0\pmod K$

如果一个区间是双向的，那么没有限制，否则经过这个区间的两个时间不能相交，对于第 $i$ 个区间即是：$S(p,i)+S(q,i)\pmod K\in [-2S(a,i-1),-2S(a,i)]$ 。

那么我们注意到相当于我们可以一开始自己确定一个 $x$，每一次可以增加一个值使得在一个区间里，最后使得 $\sum \Delta$ 最小。那么注意到的是，如果一个点不在一个区间里，那么调整到区间左端点一定更优。

然后用线段树之类的随便做就好了。