[AGC031F] Walk on Graph

link

Solution

非常厉害的题捏，可惜我什么都想不到/kk

我们首先转化一下，我们对于 $s\to t$ 计算这个长度变为 $t\to s$ 每次加入一个 $w$，当前权值 $x$ 就变为 $2x+w$。这样就不需要在乎长度了。

所以我们可以考虑暴力设计状态 $(u,x)$ 表示到了点 $u$ 当前长度为 $x$，那么我们的暴力的做法就是对于这个状态暴力并查集，最后对于 $s\to t$ 要求长度为 $r$ 的判断判断就是是否 $(t,0)$ 与 $(s,r)$ 连通即可。显然无法通过，我们考虑仔细观察性质。

---

如果 $(u,x)\to (v,y)$，那么我们同样存在 $(v,y)\to (u,x)$。

假设我们是 $u\to v$ 间存在一个真实长度为 $l$，值为 $w$ 的边，那么我们存在 $y=x2^l+w$，那么我们考虑来回走这条路径 $t$ 次，那么值即是 $x2^{tl}+w(\frac{2^{tl}-1}{2^l-1})$，这样的话因为模数不是质数似乎没法考虑，但是考虑到我们的路径都是长度为 $1$ 的边构成的，所以我们不妨考虑 $l=1$，可以发现 $t=2\varphi(p)$ 的时候我们是满足条件的，所以我们可以证明该性质。

为了方便，我们下面用 $(u,x)\leftrightarrow (v,y)$ 来表示这种关系。

---

如果图中存在两条边权值分别为 $a,b$，那么存在 $(u,x)\leftrightarrow (u,x+(a-b)\times 3)$。

首先我们先考虑 $u$ 连出两条权值为 $a,b$ 的情况，我们可以发现如下关系式：

$$(u,4x+3a)\leftrightarrow (u,x)\leftrightarrow (u,4x+3b)$$

因为 $4$ 在 $\mod p$ 的情况下是存在逆元的，所以 $4x$ 其实在模 $p$ 条件下可以表达任意值，所以我们可以推出：$(u,x)\leftrightarrow (u,(a-b)\times 3)$。

我们考虑 $u$ 与 $v$ 存在连边的情况，假设 $u,v$ 连边权值为 $w$，那么我们走 $t$ 次的话就存在：$(u,x)\leftrightarrow (v,x2^t+w(2^t-1))$ ，取 $t=\varphi(p)$，可以发现 $(u,x)\leftrightarrow (v,x)$。

有了以上两个条件，我们发现我们不断拓展就可以得到该性质。

---

有了上面的两个性质以及裴蜀定理，我们其实可以发现（$w_i$ 是第 $i$ 条边的边权（长度）），如果设 $g=\gcd(w_i-w_j),i\not= j$，那么 $(u,x) \leftrightarrow (u,y)$ 当且仅当 $x\equiv y\pmod {\gcd(3g,p)}$，所以我们完全可以把 $p\to \gcd(3g,p)$。那么可以发现每一个 $w_i$ 都可以表示为 $tg+z,t\in \mathbb{Z}$ 的形式。

我们发现，如果把 $w_i$ 都减去 $z$，那么可以满足都是 $g$ 的倍数，同时如果我们设 $(u,x+z)^{'}=(u,x)$，那么对于一条边 $w$，我们可以发现：$(u,x+z)^{'}\leftrightarrow (v,2(x+z)+w-z)^{'}=(v,2x+w+z)^{'}$，所以就跟原来的转移相同了。

同时我们观察最后的查询形式，发现现在就是查询 $(t,z)^{'}$ 与 $(s,r+z)^{'}$ 是否连通了。我们观察我们的转移，发现是 $x\to 2x+w$ 的形式，而我们现在 $w$ 都是 $g$ 的倍数，而我们的 $p$ 至多是 $3g$，所以我们可以发现我们所有需要的 $x$ 都可以表示为 $z2^{2r+i}+jg,i\in \mathbb{Z},j\in \{0,1,2\}$。而我们对于 $u\to v$ 的权值为 $w$ 的边，我们可以发现：$(u,x)\leftrightarrow (u,4x+3w)\leftrightarrow (u,4x)$，也就是 $2$ 的指数奇偶性相同时是可达的。所以其实我们只需要记录 $z2^i+jg$ 这种形式。所以只有 $\Theta(6n)$ 个状态。所以这个时候我们就可以暴力跑并查集了，然后判一下就好了。

---

复杂度 $\Theta(n\log n)$，瓶颈在于并查集。

Code

Copy
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define MAXN 1000005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,m,T,mod,tot,fa[MAXN * 6],ind[MAXN][2][3],vis[2][MAXN];//ind[u][0/1][0/1/2]表示u点2^{0/1}*x+g*(0/1/2)
int findSet (int x){return fa[x] == x ? x : fa[x] = findSet (fa[x]);}
void unionSet (int u,int v){fa[findSet (u)] = findSet (v);}
bool checkit (int u,int v){return findSet (u) == findSet (v);}

struct edge{
	int u,v,w;
	bool operator < (const edge &p)const{return w < p.w;}
}seq[MAXN];

signed main(){
	read (n,m,T,mod);
	for (Int u = 1;u <= n;++ u)
		for (Int p = 0;p < 2;++ p)
			for (Int q = 0;q < 3;++ q) ind[u][p][q] = ++ tot;
	for (Int u = 1;u <= tot;++ u) fa[u] = u;
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) read (seq[i].u,seq[i].v,seq[i].w);
	sort (seq + 1,seq + m + 1);int g = mod,z;
	for (Int i = 2;i <= m;++ i) g = __gcd (g,seq[i].w - seq[i - 1].w);
	z = seq[1].w % g;for (Int i = 1;i <= m;++ i) seq[i].w = (seq[i].w - z) / g,seq[i].w %= 3;
	mod = __gcd (3 * g,mod);
	for (Int i = 1;i <= m;++ i){
		int u = seq[i].u,v = seq[i].v,w = seq[i].w;
		for (Int p = 0;p < 2;++ p)
			for (Int q = 0;q < 3;++ q){
				unionSet (ind[u][p][q],ind[v][p ^ 1][(q * 2 + w) % 3]);
				unionSet (ind[v][p][q],ind[u][p ^ 1][(q * 2 + w) % 3]);
			}
	}
	for (Int i = 0,now = z;i < mod;++ i,now = now * 2 % mod) vis[i & 1][now] = 1;
	for (Int i = 1;i <= T;++ i){
		int u,v,r;read (u,v,r);swap (u,v);
		for (Int p = 0;p < 2;++ p)
			for (Int q = 0;q < 3;++ q) if (checkit (ind[u][0][0],ind[v][p][q]) && vis[p][(r + z - g * q % mod + mod) % mod]){
				puts ("YES");
				goto there;
			}
		puts ("NO");
		there:;
	}
	return 0;
}