Bank Security Unification 题解

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Description

对于一个长度为 \(n\) 的序列，选出一个子序列，使得相邻两项的并之和最大。

\(n\le 10^6\)

Solution

考虑到我们可以设 \(f_i\) 表示前面 \(i\) 个以 \(a_i\) 的最大序列价值，那么我们可以发现 \(f_i\) 是具有单调性的。

考虑对于 \(i\) 转移存在点 \(j,k,s.t. j<k\)，如果存在 \(a_j\) 的二进制下最大位置在 \(a_k\) 中也出现了，那么我们肯定从 \(k\) 转移更优。那么我们就可以对于每一个二进制位记录包含该位的最靠后的位置。考虑证明，如果一个点是最优转移点，但是它并没有被记录，那么说明对于每一位都存在比它靠后的位置，那么对于最高位对应的位置一定更优。

复杂度 \(\Theta(n\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define MAXN 1000005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,a[MAXN],f[MAXN],pos[41];

signed main(){
	read (n);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) read (a[i]);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i){
		for (Int j = 0;j <= 40;++ j) if (pos[j]) chkmax (f[i],f[pos[j]] + (a[i] & a[pos[j]]));
		for (Int j = 0;j <= 40;++ j) if (a[i] >> j & 1) pos[j] = i;
	}
	write (f[n]),putchar ('\n');
	return 0;
}