「Snackdown 2021 Final」Robbery 题解

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Solution

首先我们可以发现，对于任意一个选出来的物品序列，如果我们排序之后奇偶分类，那么分成的两堆一定相差 \(\le n-1\) 。

然后我们考虑dp，我们可以设 \(f_{a,w}\) 表示选 \(a\) 个物品，重量和为 \(w\) 的价值和最大值，那么对于 \(a\) 为偶数，则有转移式：

\[f_{a,w}=\max_{i} \{f_{a/2,i}+f_{a/2,w-i}\} \]

根据我们发现的性质，\(i\) 的范围就会变为 \([(w-n)/2,(w+n)/2]\)。

对于 \(a\) 为奇数，我们就可以直接选一个把 \(a\) 变为偶数。

不难发现复杂度 \(\Theta(n^2\log k)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define MAXM 1000005
#define MAXN 1005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,k,W,val[MAXN],ind[MAXM],tot[MAXM],f[35][5005];

int F (int a,int w){
	if (w < a || w > a * n) return -1e18;
	if (~f[ind[a]][w - tot[a] + 2500]) return f[ind[a]][w - tot[a] + 2500];
	if (a == 1) return f[ind[a]][w - tot[a] + 2500] = (w <= n ? val[w] : -1e18);
	if (a & 1){
		int &t = f[ind[a]][w - tot[a] + 2500] = -1e18;
		for (Int i = 1;i <= n && i <= w;++ i) chkmax (t,F (a - 1,w - i) + val[i]);
		return t; 
	}
	else{
		int &t = f[ind[a]][w - tot[a] + 2500] = -1e18;
		for (Int i = (w - n) / 2;i <= (w + n) / 2;++ i) chkmax (t,F (a / 2,i) + F (a / 2,w - i));
		return t;
	}
}

signed main(){
	read (n,k,W);int cnt = 0;tot[k] = W,memset (f,-1,sizeof (f));
	for (Int i = k;i >= 1;) if (i & 1) ind[i] = ++ cnt,tot[i - 1] = tot[i],i --;else ind[i] = ++ cnt,tot[i / 2] = tot[i] / 2,i >>= 1; 
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) read (val[i]);
	write (F (k,W)),putchar ('\n');
	return 0;
}