Poborcy podatkowi 题解

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Solution

我们考虑设 \(f_{u,i}\) 表示的是以 \(u\) 为根的子树，\(u\) 连一条长为 \(i\) 的链的已选边的边权之和最大值。

考虑如何转移，我们可以设 \(t_{i,j}\) 表示儿子选了长度为 \(1\) 的链的个数减去长度为 \(3\) 的链的个数为 \(i\) ，长度为 \(2\) 的奇偶性为 \(j\) 时我们已选边的的边权之和最大值。可以发现我们可以通过 \(t_{i,j}\) 来得到我们 \(u\) 连的链的长度。但是问题就是我们的 \(t\) 转移时间复杂度为 \(\Theta(h^2)\)，其中 \(h\) 为儿子个数。

考虑到这道题可以做，所以我们可以想到随机化，所以我们控制 \(i\) 的范围，然后儿子顺序 random_shuffle 一下，估计正确性就很大了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define MAXN 200005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n;

#define pii pair<int,int>
#define se second
#define fi first
vector <pii> g[MAXN];

#define MAXB 55
int f[MAXN][4],tmp[MAXB << 1][2],sht[MAXB << 1][2];

void dfs (int u,int fa){
	int B = 50;
	random_shuffle (g[u].begin(),g[u].end());
	for (pii it : g[u]) if (it.fi != fa) dfs (it.fi,u);
	memset (tmp,0xcf,sizeof (tmp)),tmp[B][0] = 0;
	for (pii it : g[u]){
		int v = it.fi,w = it.se;
		if (v == fa) continue;
		memset (sht,0xcf,sizeof (sht));
		for (Int i = -B;i <= B;++ i)
			for (Int j = 0;j <= 1;++ j){
				chkmax (sht[i + B][j],tmp[i + B][j] + f[v][0]);
				chkmax (sht[i + B][j],tmp[i + B][j] + f[v][3] + w);
				if (i + 1 <= B) chkmax (sht[i + B + 1][j],tmp[i + B][j] + f[v][0] + w);
				if (i - 1 >= -B) chkmax (sht[i + B - 1][j],tmp[i + B][j] + f[v][2] + w);
				chkmax (sht[i + B][j ^ 1],tmp[i + B][j] + f[v][1] + w);
			}
		memcpy (tmp,sht,sizeof (tmp));
	}
	memset (f[u],0xcf,sizeof (f[u]));
	for (Int i = -1;i <= 1;++ i)
		for (Int j = 0;j <= 1;++ j)
			if (!i || !j){
				if (i == -1) chkmax (f[u][3],tmp[i + B][j]);
				if (i == 1) chkmax (f[u][1],tmp[i + B][j]);
				if (j == 1) chkmax (f[u][2],tmp[i + B][j]);
				if (i == 0 && j == 0) chkmax (f[u][0],tmp[i + B][j]); 
			}
}

signed main(){
	read (n);
	for (Int i = 2,u,v,w;i <= n;++ i) read (u,v,w),g[u].push_back ({v,w}),g[v].push_back ({u,w}); 
	dfs (1,0),write (f[1][0]),putchar ('\n');
	return 0;
}