2021-11-14 补题

再次Orz ljs神，又赛场A掉大家都不会的题目。

T1 & T2 & T3

都太蠢了，T1 sb dp，T2 sb 模拟，T3 明明可以 $\Theta(n\times m)$，出题人却只开到 $4\times 10^4$ 。

T4

Description#

求 $n!$ 在除去所有 $2^4$ 之后 ull 意义下的值。

$n< 2^{64}$

Solution#

funny problem

我们首先看出我们可以分治，就是说我们可以设 $f(n)$ 表示 $\prod_{i=1}^{n} i!$ 在去掉 $2$ 之后的 ull 下的值，最后我们再乘上 $2^{c\pmod 4}$，其中 $c$ 就是 $n!$ 中 $2$ 的个数。

考虑 $f(n)$ 怎么算。我们发现我们可以奇偶分类，那么我们就有 $f(n)=f(n/2)\prod_{i=0}^{n/2-1} (2i+1)$。

我们考虑展开后面那个，你发现我们最多选 $63$ 个 $2i$ ，因为多了就不会产生贡献了。而我们选一个 $2i$ 相当于我们贡献乘上 $i$（去掉因子 $2$）。

那我们设 $g_{i,j}$ 表示前面 $i$ 个数中选 $j$ 出来的贡献之和。我们就可以得到转移式：

$$g_{i,j}=g_{i-1,j}+g_{i-1,j-1}\times i$$

观察第一类斯特林数的式子：

$$S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)\times (n-1)$$

那么，你就可以发现，$g_{n,m}=S(n+1,n-m+1)$。

但是这个题目 $n$ 太大了，不好直接算，所以我们需要考虑跟 $m$ 相关的算法。我们发现大于 $1$ 的环最多只有 $m$ 个，那么我们设 $f_{i,j}$ 表示 $i+j$ 个点，放进 $j$ 大小 $>1$ 的个圆的排列方案数。

那么答案就是：

$$\sum_{i=1}^{m} f_{m,i}\binom{n+1}{m+i}$$

你考虑 $f_{i,j}$ 怎么算。对于第 $i$ 个点，你可以加入前面的任意一个环，贡献为 $i+j-1$，你也可以新开一个大小为 $2$ 的环，同时你需要从前面选一个来组队，贡献亦为 $i+j-1$，所以我们得到转移式：

$$f_{i,j}=(f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1})\times (i+j-1)$$

复杂度大概是 $\Theta(\log^4 n)$ 。

Code#

并没有呢，先生。