题解 主旋律

题目传送门

Description

响应主旋律的号召，大家决定让这个班级充满爱，现在班级里面有 n 个男生。

如果 a 爱着 b，那么就相当于 a 和 b 之间有一条 a→b 的有向边。如果这 n 个点的图是强联通的，那么就认为这个班级是充满爱的。

不幸的是，有一些不好的事情发生了，现在每一条边都可能被摧毁。我作为爱的使者，想知道有多少种摧毁的方式，使得这个班级任然充满爱呢？（说人话就是有多少边的子集删去之后整个图仍然强联通。）

输入格式

第一行两个数 n 和 m，表示班级里的男生数和爱的关系数。

接下来 m 行，每行两个数 a 和 b，表示男生 a 爱着男生 b。同时 a 不等于 b。

所有男生从 1 到 n 标号。

同一条边不会出现两遍，但可能出现 a 爱着 b，b 也爱着 a 的情况，这是两条不同的边。

输出格式

输出一行一个整数,表示对 109+7 取模后的答案。

样例

样例输入

			
5 15
4 3
4 2
2 5
2 1
1 2
5 1
3 2
4 1
1 4
5 4
3 4
5 3
2 3
1 5
3 1

样例输出

			
9390

数据范围与提示

对于 100\% 的数据满足: n≤15,0≤m≤n(n−1)。

Solution

以下问题均在有向图上进行考虑。

首先我们可以考虑如何计算一个点集的是 DAG 完全子图个数。设这个叫 \(D(S)\) ，定义 \(w(S,T)\) 表示 \(S\to T\) 的边数，\(h(S)\) 为 \(w(S,S)\)。

我们可以枚举哪些点入度为 \(0\)，那么我们可以通过容斥得到转移式：

\[D(S)=2^h(S)-\sum_{T \subset S} (-1)^{|T|+1}D(S\otimes T)2^{w(T,S\otimes T)} \]

考虑到原问题。我们设 \(f(S)\) 表示集合 \(S\) 的是 scc 的完全子图个数，\(g(S)\) 表示将 \(S\) 分成奇数个 scc 的方案数减去偶数个 scc 的方案数。（原因见上式）

同样的，我们可以枚举哪些 scc 在缩点后的图上入度为 \(0\) ，可以得到转移式：

\[f(S)=2^h(S)-\sum_{T\subseteq S}g(T)2^{w(T,S\otimes T)}2^{h(S\otimes T)} \]

\[g(S)=f(S)-\sum_{T\subset S} f(S\otimes T)\times g(T) \]

不过需要注意的是你在计算 \(g(S)\) 的时候需要钦定一下顺序，否则会算重，具体来说可以每次当前的 scc 都必须包含一个固定点。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 1000000007
#define MAXN 17

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,m,pw[MAXN * MAXN],toS[MAXN],lg[1 << 16],siz[1 << 16],cnt[1 << 16],f[1 << 16],g[1 << 16];

int mul (int a,int b){return 1ll * a * b % mod;}
int dec (int a,int b){return a >= b ? a - b : a + mod - b;}
int add (int a,int b){return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;}
void Sub (int &a,int b){a = dec (a,b);}
void Add (int &a,int b){a = add (a,b);}

int lowbit (int x){return x & (-x);}
int getw (int S1,int S2){
	int res = 0;
	while (S1){
		int now = lowbit(S1);
		S1 -= now,now = lg[now] + 1;
		res += siz[toS[now] & S2];
	}
	return res;
}

signed main(){
	read (n,m),pw[0] = 1;
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) pw[i] = add (pw[i - 1],pw[i - 1]);
	for (Int i = 1;i < n;++ i) lg[pw[i]] = i;
	for (Int S = 0;S < (1 << n);++ S) siz[S] = siz[S >> 1] + (S & 1);
	for (Int i = 1,u,v;i <= m;++ i) read (u,v),toS[u] |= (1 << v - 1);
	for (Int S = 0;S < (1 << n);++ S) cnt[S] = getw (S,S);
	for (Int S = 1;S < (1 << n);++ S){
		int nS = S ^ lowbit(S);
		for (Int T = nS;T;T = (T - 1) & nS) Sub (g[S],mul (f[S ^ T],g[T]));
		f[S] = pw[cnt[S]];
		for (Int T = S;T;T = (T - 1) & S) Sub (f[S],mul (g[T],mul (pw[getw (T,S ^ T)],pw[cnt[S ^ T]])));
		Add (g[S],f[S]);
	}
	write (f[(1 << n) - 1]),putchar ('\n');
	return 0;
}