NOI 2021 部分题目题解

最近几天复盘了一下NOI 2021，愈发发觉自己的愚蠢，可惜D2T3仍是不会，于是只写前面的题解

Day1 T1

可以发现，每次相当于将 \(x\to y\) 染上一种全新颜色，然后一条边是重边当且仅当两端有颜色且相同，于是就可以使用树链剖分维护了。

复杂度 \(\Theta(n\log^2n)\)。

Day1 T2

可以发现，当 \(n_i\) 都相同的是，答案就是邻接矩阵行列式的积，也即是邻接矩阵积的行列式。

拓展发现，\(n_i\) 不同的时候依旧适用，不过不会证明。

Day1 T3

首先可以发现，在缩点之后一定存在一种树形结构使得不改变连通性，因为假设存在 \(z\to x,y\to x,z\to y\)，那么 \(z\to x\) 是不需要的。所以在构造树的时候可以选一个入度为 \(0\) 的点开始，然后每次儿子从 scc 序大的开始。

假设已经建好了树，可以发现 \(k=0\) 时有解的话就是 \(x\to y\) 上链上点的大小之和，\(k=1\) 的话需要分类讨论，\(k\) 更大时显然分类讨论不是很好搞。

发现假设我们定义“好点”为新增边的端点中既能从 \(s\) 到达又能到 \(t\) 的点（合法情况下包括 \(s,t\)），那么一个点合法当且仅当祖先中有“好点”，子树中有“好点”。

那我们就可以建出虚树，然后算贡献了。（然而似乎可以不用建出虚树）。

Day2 T1

不难发现分成 \(16\) 段的话，如果有解那么解的方案一定有一段完全相同，然后你发现随机情况下一段最多有 \(7\) 个左右，暴力判就好了。算差异的话可以用 __builtin_popcount \(\Theta(1)\) 计算。

Day 2 T2

首先可以看出并不需要除以 \(\gcd\)。

可以发现如果 \(a_i\) 是确定的，那么：

\[\begin{bmatrix} a_i & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

从右往左算的积的 \((0,0)\) 位和 \((0,1)\) 位就是答案。

考虑 W 操作的影响，你发现：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a_i & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_i+1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

所以就相当于在后面增加一个

\[\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

的矩阵。

考虑 E 操作，不难发现两种情况其实操作下来等价，所以我们只需要考虑第二种情况。实际上就是增加：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

又因为矩阵有结合律，所以就相当于增加：

\[\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

所以用平衡树维护就好了。需要卡常的话可以把矩阵乘法那里手写而非循环形式。