Powerful Number 学习笔记

定义

对于一个正整数 \(n\) ，若完全分解之后不存在指数 \(=1\) ，则称 \(n\) 为 \(\text{Powerful Number}\) 。

可以发现的是，在 \([1,n]\) 中，\(\text{Powerful Number}\) 的数量是 \(\sqrt n\) 级别的。

Powerful Number 在求积性函数前缀和中的应用

假设给出积性函数 \(f(x)\) 要求 \(\sum_{i=1}^{n} f(i)\)，我们可以考虑引入一个拟合函数 \(g(x)\) 使得 \(\forall x\in \mathbb{P},g(x)=f(x)\) 且 \(g(x)\) 亦为积性函数。同时，我们还需要保证 \(g(x)\) 的前缀和是一个好求的东西。

令 \(h=f\times g^{-1}\)，那么我们就有：

\[\sum_{i=1}^{n} f(i)=\sum_{i=1}^{n} h(i)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} g(j) \]

而我们在质数 \(p\) 处存在 \(f(p)=h(p)+g(p)=g(p)\)，所以 \(h(p)=0\)，那么也就是说所有非 \(\text{Powerful Number}\) 的 \(h\) 均为 \(0\) 。所以我们就可以暴力搜索找出 \([1,n]\) 中的 \(\text{Powerful Number}\) ，然后求个前缀和就好了。