题解 烷基计数 加强版 加强版
Description
问树大小为 \(n\)，每个节点的儿子个数 \(\le 3\) 的本质不同树的个数。不考虑儿子之间的顺序。
\(n\le10^5\)
Solution
因为这个题跟多项式关系比较大，所以就没有放到 Polya 定理学习笔记里面。
我们可以看出，假设我们设 \(F(x)\) 表示答案的普通型生成函数，那么，我们就有：
\[F(x)=x\frac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6}+1
\]
个人觉得比较显然，直接拿 Polya 定理爆艹就行了。
问题就是怎么求这个东西，我们其实可以使用牛顿迭代法（分治 \(\text{FFT}\) 应该也行，但是是 \(\log^2n\) 的，所以就没有写）。
我们可以假设我们要求 \(F(x)\) 使得 \(G(F(x))\equiv 0\pmod{x^n}\)，其中 \(G(F(x))=x\frac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6}+1-F(x)\)。
然后就是牛顿迭代法标准套路了。假设已求出 \(H(x)\) 使得 \(G(H(x))\equiv 0\pmod{x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}\)，那么，我们就有：
\[F(x)\equiv H(x)-\frac{G(H(x))}{G^{'}(H(x))}\pmod{x^n}
\]
问题就是如何求出 \(G^{'}(H(x))\) 了。主要是 \(H(x^2)\) 和 \(H(x^3)\) 怎么求导。
其实，因为我们现在已经知道 \(H(x^2)\) 和 \(H(x^3)\) 在 \(\pmod{x^n}\) 的表达式了，所以，它们可以当常数，那么，
\[G^{'}(H(x))=x\frac{3H(x)^2+3H(x^2)}{6}-1
\]
时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)，我的实现比较丑，所以不是很快。
