题解 [CTSC2006]歌唱王国

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Desctiption

见题面。

Solution

人类智慧。。。

考虑这样一个赌博游戏，现在有一个猴子，它随机从 \(1\sim n\) 中选一个打出来。现在有若干个赌徒，他们一开始都有 \(\$1\)，现在有一个字符串 \(S\)，赌徒在第一次押猴子会打 \(S_1\)，如果赢了就回收 \(\$ n\) ，如果输了就可以滚他的蛋了。如果赌徒赢了就继续押猴子会打 \(S_2\)，如果赢了就回收 \(\$ n^2\) ，否则就可以滚蛋了。以此类推，并且猴子每打一个字都会新加进来一个赌徒。当某一个赌徒不用滚蛋的时候赌场就可以滚蛋了。

我们观察后可以发现这个赌博是一个公平博弈，因为一个赌徒最后的期望财产为 \(1\)，所以赌徒和赌场从期望上来讲都是不赚不亏的。接着我们考虑结束前发生了什么。

我们假设 \(S=\{1,4,1,5,1,1,4,1\}\)，\(n=5\)，那么最后一个赌徒得了 \(\$5\)，倒数第三个赌徒得了 \(\$5^3\) ，倒数第八个赌徒得了 \(\$5^8\)，其余赌徒都滚蛋了。

又因为这个博弈是公平的，也就是说从期望角度，赌场需要来 \(5^1+5^3+5^8\) 个人才可以。我们另外可以看出，赌徒得的总钱数（即这个题中唱歌期望时间）就是：

\[\sum_{T\in \text{Border S}} n^{|T|} \]

求 \(\text{Border}\) 可以直接 KMP。

时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define MAXN 100005
#define mod 10000

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int n,m,t,s[MAXN],f[MAXN],fail[MAXN];

int mul (int a,int b){return a * b % mod;} 
int add (int a,int b){return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;}
int qkpow (int a,int b){
	int res = 1;for (;b;b >>= 1,a = mul (a,a)) if (b & 1) res = mul (res,a);
	return res;
}

void Work (int now){
	read (m);
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) read (s[i]);
	for (Int i = 2,t = 0;i <= m;++ i){
		while (t && s[t + 1] != s[i]) t = fail[t];
		if (s[t + 1] == s[i]) ++ t;
		fail[i] = t;
	} 
	for (Int i = m;i;i = fail[i]) f[i] = now;
	int ans = 0;for (Int i = 1,tmp = n % mod;i <= m;++ i,tmp = mul (tmp,n)) if (f[i] == now) ans = add (ans,tmp);
	printf ("%04d\n",ans);
}

signed main(){
	read (n,t);
	while (t --> 0) Work (t + 1);
 	return 0;
}