题解 51nod 1597 有限背包计数问题

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题目大意

给出 \(n\)，第 \(i\) 个数有 \(i\) 个，问凑出 \(n\) 的方案数。

\(n\le 10^5\)

思路

呜呜呜，傻掉了。。。

首先想到根号分治，分别考虑 \([1,\sqrt n]\) 以及 \([\sqrt n+1,n]\)。

1. \([1,\sqrt n]\)

不难看出这部分可以直接 dp，设 \(f_{i,j}\) 为前面 \(i\) 种物品选出重量为 \(j\) 的方案数，可以得到转移式：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-i}-f_{i-1,j-i\times (i+1)} \]

2. \([\sqrt n+1,n]\)

不难看出这部分最多选出 \(\sqrt n\) 个物品，于是可以设 \(g_{i,j}\) 表示选了 \(i\) 个 物品，选出重量为 \(j\) 的方案数。可以得到转移式：

\[g_{i,j}=g_{i,j-i}+g_{i,j-\sqrt n-1} \]

具体含义就是转移有两种，第一种就是集体右移，即重量为 \(k\) 的都变为 \(k+1\)，另外一种就是选 \(\sqrt n+1\)。

---

综上时空复杂度 \(\Theta(n\log n)\)，第一种记得滚动数组，不然会 MLE。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 23333333 
#define MAXN 100005
#define MAXM 325

template <typename T> void read (T &x){char c = getchar ();x = 0;int f = 1;while (c < '0' || c > '9') f = (c == '-' ? -1 : 1),c = getchar ();while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0',c = getchar ();x *= f;}
template <typename T,typename ... Args> void read (T &x,Args& ... args){read (x),read (args...);}
template <typename T> void write (T x){if (x < 0) x = -x,putchar ('-');if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int n,sqr;
int f[2][MAXN],g[MAXM][MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN];
/*
f[i][j] 表示前面i个物品选出重量j的方案数，g[i][j]表示i个物品选出重量j的方案数 
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]-f[i-1][j-i*(i+1)]
g[i][j]=g[i][j-i]+g[i-1][j-sqr-1]
*/

int dec (int a,int b){return a >= b ? a - b : a + mod - b;}
int add (int a,int b){return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;}

void Work1 (){
	f[0][0] = 1;
	for (Int i = 1;i <= sqr;++ i)
		for (Int j = 0;j <= n;++ j)
			f[i & 1][j] = add (f[i - 1 & 1][j],dec (j >= i ? f[i & 1][j - i] : 0,j >= i * (i + 1) ? f[i - 1 & 1][j - i * (i + 1)] : 0));
	for (Int i = 0;i <= n;++ i) f1[i] = f[sqr & 1][i];
}

void Work2 (){
	g[0][0] = 1;
	for (Int i = 1;i <= sqr;++ i)
		for (Int j = 0;j <= n;++ j)
			g[i][j] = add (j >= i ? g[i][j - i] : 0,j >= sqr + 1 ? g[i - 1][j - sqr - 1] : 0); 
	for (Int i = 0;i <= n;++ i)
		for (Int j = 0;j <= sqr;++ j) f2[i] = add (f2[i],g[j][i]);
}

signed main(){
	read (n),sqr = sqrt (n),Work1(),Work2 ();
	int ans = 0;for (Int i = 0;i <= n;++ i) ans = add (ans,1ll * f1[i] * f2[n - i] % mod);
	write (ans),putchar ('\n');
	return 0;
}