prufer 序列 学习笔记

前言

上周五看了一下，发现不是很难，今天再看了一眼，把板题做了，顺便看了另外一道（懒得码了）

正文

其实很简单，我们定义一颗无根树的 prufer 序列为，钦定任意一个点为根（方便确定父子关系），每次从叶子中选出一个编号最小的点，把它的父亲加入到 prufer 序列中，并删掉该节点。

不难看出，我们最后会有 \(n-2\) 个数，而且可以 \(n\log n\) 求出。并且不同树的 prufer 序列不会相同。实际上我们也可以做到 \(\Theta(n)\) 。大概意思就是指针维护当前编号最小的叶子，然后每次删点的时候把会立马加入到序列的父亲也跟着删掉就好了，具体见代码。

考虑如何从 prufer 序列转换成一棵树。不难看出，一个点的度数就是 prufer 序列中的出现次数。我们可以先把叶子提出来，每次对于 prufer 序列中的一个点，叶子节点中编号最小的就是它的儿子。然后删掉这个儿子，看是否是叶子即可。时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)。不过我们也可以做到 \(\Theta(n)\)，与上面类似。

不难发现的是，对于任意一个 prufer 序列，我们都可以得到相应的一棵树。于是，\(n\) 个点的生成树个数就是 \(n^{n-2}\) 个。相应的，我们可以推出每个点度数固定时的生成树个数。

\(\texttt{Code}\)

板题传送门

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define ll long long
#define MAXN 5000005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

ll ans;
int n,m,f[MAXN],seq[MAXN],deg[MAXN];

signed main(){
	read (n,m);
	if (m == 1){
		for (Int i = 1;i < n;++ i) read (f[i]),deg[f[i]] ++;int now = 0;
		for (Int i = 1,j = 1;i <= n - 2;++ i,++ j){
			while (deg[j]) ++ j;seq[i] = f[j];
			while (i <= n - 2 && !-- deg[seq[i]] && seq[i] < j) seq[i + 1] = f[seq[i]],++ i;
		}
		for (Int i = 1;i <= n - 2;++ i) ans ^= 1ll * i * seq[i];
	}
	else{
		for (Int i = 1;i < n - 1;++ i) read (seq[i]),deg[seq[i]] ++;seq[n - 1] = n;
		for (Int i = 1,j = 1;i < n;++ i,++ j){
			while (deg[j]) j ++;f[j] = seq[i];
			while (i < n && !-- deg[seq[i]] && seq[i] < j) f[seq[i]] = seq[i + 1],++ i;
		}
		for (Int i = 1;i <= n - 1;++ i) ans ^= 1ll * i * f[i];
	}
	write (ans),putchar ('\n');
	return 0;
}