题解 Christmas Game
题目大意
给出 \(t\) 个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每次可以从任意一棵树选择一条边删掉，然后该树不与根（为 \(1\) ）联通的部分被删掉。不能操作的人输。问谁有必胜策略。
每棵树都满足：每个环都只会挂在叶子节点上。
\(n\le 100,m\le 500\)
思路
怎么说呢？很厉害的题目吧。
首先考虑一个树的情况，我们设 \(sg(u)\) 表示 \(u\) 子树内的 \(sg\) 函数值，我们可以得到转移式：
\[sg(u)=\text{mex}_{v\in son_u}\{sg(v)\}
\]
\[\Rightarrow sg(u)=\otimes_{v\in son_u} (sg(v)+1)
\]
这个可以通过打表发现，不过有一种比较巧妙的方法，就是说我们把主链拉出来，那么相当于每一个节点连了一条链，那么，删边就相当于取石子了。
然后考虑拓展到任意图上。这里给出一个结论：
一个环如果大小为偶数，它的顶点产生的贡献为 \(0\)，反之为 \(1\)。
相当于环大小为偶数时，把环缩为一个点，否则再连向一个点。
考虑证明，我们发现我们可以通过枚举破掉环上哪条边来求，你发现环大小为偶数时，你破掉之后两条链长度一定一奇一偶，也就是对该环的根（挂的叶子）产生的贡献一定为偶数，所以第一个未出现的正整数一定为 \(1\)。同理，我们可以推出环大小为奇数的情况，这里就不再赘述了。
这里提醒一些细节：
-
需要考虑重边
-
需要考虑多个环串在一个顶点的情况
具体见代码就好了。
\(\texttt{Code1}\)
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Int register int
#define MAXN 105
template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
int T,n,m,sg[MAXN],dep[MAXN],vis[MAXN];
int toop,head[MAXN],to[MAXN * 10],nxt[MAXN * 10];
void Add_Edge (int u,int v){
to[++ toop] = v,nxt[toop] = head[u],head[u] = toop;
to[++ toop] = u,nxt[toop] = head[v],head[v] = toop;
}
int dfs (int u,int fa){
bool flag = 0;
dep[u] = dep[fa] + 1,vis[u] = 1;
for (Int i = head[u];i;i = nxt[i]){
int v = to[i];
if (!v) continue;
if (v == fa && !flag){
flag = 1;
continue;
}
if (vis[v]){
sg[v] ^= (dep[u] - dep[v] + 1 & 1);
to[i ^ 1] = 0;
return v;
}
else{
int cur = dfs (v,u);
if (!cur) sg[u] ^= sg[v] + 1;
else if (cur ^ u) return cur;
}
}
return 0;
}
void clear (){
toop = 1,memset (head,0,sizeof (head));
for (Int i = 1;i <= n;++ i) sg[i] = dep[i] = vis[i] = 0;
}
signed main(){
while (~scanf ("%d",&T)){
int ans = 0;
while (T --> 0){
read (n),read (m),clear ();
for (Int i = 1,u,v;i <= m;++ i) read (u),read (v),Add_Edge (u,v);
dfs (1,0),ans ^= sg[1];
}
puts (ans ? "Sally" : "Harry");
}
return 0;
}
\(\texttt{Code2}\)
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
#define Int register int
#define MAXN 105
template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
vector <int> G[MAXN];
int T,n,m,top,sg[MAXN],dep[MAXN],vis[MAXN],sta[MAXN];
void Add_Edge (int u,int v){
G[u].push_back (v),
G[v].push_back (u);
}
void dfs (int u,int fa){
bool flag = 0;
sta[++ top] = u,vis[u] = 1;
for (Int i = 0;i < G[u].size();++ i){
int v = G[u][i];
if (v == fa && !flag){
flag = 1;
continue;
}
if (vis[v] == 1){
int cnt = 1;
while (sta[top] != v){
cnt ++;
vis[sta[top --]] = 0;
}
sg[v] ^= (cnt & 1);
}
else if (vis[v] == -1){
dfs (v,u);
if (vis[v]) sg[u] ^= sg[v] + 1;
}
}
if (vis[u]) -- top;
return ;
}
void clear (){
top = 0;
for (Int i = 1;i <= n;++ i) sg[i] = dep[i] = 0,vis[i] = -1,G[i].clear ();
}
signed main(){
while (~scanf ("%d",&T)){
int ans = 0;
while (T --> 0){
read (n),read (m),clear ();
for (Int i = 1,u,v;i <= m;++ i){
read (u),read (v);
if (u ^ v) Add_Edge (u,v);
}
dfs (1,0),ans ^= sg[1];
}
puts (ans ? "Sally" : "Harry");
}
return 0;
}
