题解 [HNOI2007]分裂游戏

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题目大意

有趣的取石子游戏即将开始。 有 \(n\) 堆石头，编号为 \(0,1,2，...，n-1\)。两个人轮流挑石头。

在每个回合中，每个人选择三堆编号为 \(i,j,k\) 的石头（ \(i<j\le k\) 且堆 \(i\) 中至少留下一块石头）。 然后，这个人从堆 \(i\) 中取出一块石头，再将一块石头分别加入堆 \(j\) 和堆 \(k\) 中。如果他不能按照规则挑选石头就会失败。David 第一个选择石头，他希望赢得比赛。你能写一个程序来帮助他吗？

堆数 \(n\) 不超过 \(23\)。每堆中的石块数量不超过 \(1000\) 。 假设两人非常聪明，他们将遵循最优策略来挑选石头。

思路

首先我们可以发现每个石子都是单独的，于是我们可以对于每一个石子进行考虑，于是我们转换一下问题：

现在我们有很多个石子，每个石子可以有一个位置，每一次可以把一个石子移动到后面其他两个位置。

然后我们就发现答案其实只跟每堆石子的奇偶性相关（每堆里面每个石子都是相同的，异或 \(2\) 次相当于没有）

然后我们就可以用 sg 函数解决这个问题：

\[sg(i)=\text{mex}\{sg(j)\oplus sg(k)\} \]

然后时间复杂度就是 \(\Theta(n^3)\)。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define MAXN 105

int n,a[MAXN],SG[MAXN];
bool vis[MAXN];

void Getsg ()
{
	SG[n] = 0;
	for (Int i = n - 1;i;-- i)
	{
		memset (vis,0,sizeof (vis));
		for (Int j = i + 1;j <= n;++ j)
			for (Int k = j;k <= n;++ k)
				vis[SG[j] ^ SG[k]] = 1;
		SG[i] = 0;while (vis[SG[i]]) SG[i] ++;
	}
}

int read ()
{
	int x = 0;char c = getchar();int f = 1;
	while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9'){x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';c = getchar();}
	return x * f;
}

void write (int x)
{
	if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}
	if (x > 9) write (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

signed main()
{
	int kase = 0;
	while (scanf ("%d",&n) && n)
	{
		for (Int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = read ();
		Getsg ();
		int ans = 0,flag = 0;
		for (Int i = 1;i <= n;++ i) if (a[i] & 1) ans ^= SG[i];
		printf ("Game %d: ",++ kase);
		for (Int i = 1;i <= n - 1;++ i)
		{
			if (!a[i]) continue;
			for (Int j = i + 1;j <= n;++ j)
				for (Int k = j;k <= n;++ k)
					if ((ans ^ SG[i] ^ SG[j] ^ SG[k]) == 0)
						if (!flag) flag = 1,write (i - 1),putchar (' '),write (j - 1),putchar (' '),write (k - 1),putchar ('\n');
		}
		if (!flag) puts ("-1 -1 -1");
	}
	return 0;
}