斐波那契的最小公倍数 题解

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题目大意

给出 $n$ 以及一个长度为 $n$ 的数组 $a_{1,2,...,n}$ ，定义 $f_i$ 表示斐波拉契数列的第 $i$ 项，其中 $f_1=f_2=1$ 。求出 $\text{lcm}\{f_{a_1},f_{a_2},...,f_{a_n}\}$ 。

$n\le 5\times 10^4,a_i\le 10^6$

思路

算是让我见识了 $\text{min-max}$ 容斥有多强。做这道题首先你得知道一个知道一个式子：

$$\text{lcm}\{S\}=\prod_{T\subseteq S}\gcd\{T\}^{(-1)^{|T|+1}}$$

具体证明可以考虑我们对于质因数分解的每一位做 $\text{min-max}$ 容斥。

然后看到这道题，我们又有一个人尽皆知的定理 $\gcd(f_i,f_j)=f_{\gcd(i,j)}$，然后就可得到：

$$\text{lcm}\{S\}=\prod_{T\subseteq S}f_{\gcd\{T\}}^{(-1)^{|T|+1}}$$

$$=\prod_{i=1}^{\infty} f_i^{\sum_{T\subseteq S} [\gcd\{T\}=i](-1)^{|T|+1}}$$

然后上面那一坨不是很好求，所以我们可以考虑莫比乌斯反演解决，我们设 $a_i=\sum_{T\subseteq S} [\gcd\{T\}=i](-1)^{|T|+1}$ ，$b_i=\sum_{i|d} a_d$，那么我们可以得到：

$$b_i=\sum_{T\subseteq S}[i|\gcd\{T\}](-1)^{|T|+1}$$

然后你发现如果 $i$ 在 $T$ 中出现过，那么 $b_i=1$，反之为 $0$，具体证明可以使用二项式定理。

然后我们使用莫比乌斯反演可以得到：

$$a_i=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})b_d$$

然后直接预处理之后暴力算就好了，时间复杂度为 $\Theta(w\ln w)$ ，其中 $w$ 是值域。

$\texttt{Code}$

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define mod 1000000007
#define MAX 1000000

int n,tot,f[MAX + 5],a[MAX + 5],b[MAX + 5],mu[MAX + 5],vis[MAX + 5],prime[MAX + 5];

void Euler (int up){
	mu[1] = 1;
	for (Int i = 2;i <= up;++ i){
		if (!vis[i]) prime[++ tot] = i,mu[i] = -1;
		for (Int j = 1;j <= tot && i * prime[j] <= up;++ j){
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
			else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

int qkpow (int a,int b){
	int res = 1;for (;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % mod) if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
	return res;
}

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

signed main(){
	read (n),Euler (MAX);
	for (Int i = 1,x;i <= n;++ i) read (x),b[x] = 1;
	for (Int i = 1;i <= MAX;++ i)
		for (Int j = i + i;j <= MAX;j += i)
			b[i] |= b[j];
	f[1] = f[2] = 1;for (Int i = 2;i <= MAX;++ i) f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;
	for (Int i = 1;i <= MAX;++ i)
		for (Int j = i;j <= MAX;j += i)
			a[i] += mu[j / i] * b[j];
	int ans = 1;for (Int i = 1;i <= MAX;++ i) ans = 1ll * ans * qkpow (f[i],mod - 1 + a[i]) % mod;
	write (ans),putchar ('\n');
 	return 0;
}